Para o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+4 y=6 \\\\ 3 x+2 y=b\end{array}\right., determine condições sobre a e b para que exista uma única solução (encontre essa solução), para que não haja nenhuma solução e para que haja infinitas soluções (encontre essas soluções).
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} a x + 4 y = 6,\\\\ 3 x + 2 y = b, \end{cases}
e pede condições em a e b para ter única solução (e ela), nenhuma solução, e infinitas soluções (e estas). O conteúdo é resolução de sistema 2\times 2 por determinante (regra de Cramer) e análise de casos degenerados.
Passo 2
Calcule o determinante principal
D = \begin{vmatrix} a & 4\\\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2a - 12 = 2(a-6).
Se D \neq 0, ou seja, a \neq 6, o sistema tem única solução dada por Cramer. Calculamos também
D_x = \begin{vmatrix} 6 & 4\\\ b & 2 \end{vmatrix} = 12 - 4b = -4(b-3), \quad D_y = \begin{vmatrix} a & 6\\\\ 3 & b \end{vmatrix} = ab - 18.