Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: determinar a(s) função(ões)
que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dada. Lista das informações relevantes:
Passo 2
Observação inicial e justificativa do método (sem resolver ainda): a equação está escrita como
expressão que separa claramente em uma função de
dividida por uma função de
. Quando temos essa forma, podemos usar o método de variáveis separáveis: multiplicamos termos em
para o lado de
e termos em
para o lado de
, e então integramos ambos os lados. Isso é válido porque estamos lidando com funções diferenciáveis onde as expressões envolvidas não anulam denominadores no ponto considerado (verificaremos a consistência com a condição inicial depois).
Passo 3
Separe as variáveis: começar da equação
Multiplicamos ambos os lados por
e por
para obter:
Agora cada lado depende apenas de uma variável: o lado esquerdo é função de
vezes
, o direito é função de
vezes
. Pronto para integrar.
Passo 4
Integre ambos os lados. À esquerda:
Calcule a integral passo a passo:
Multiplicando por
:
À direita:
Calcule termo a termo:
Somando:
Passo 5
Inclua constante de integração e iguale os resultados das integrais:
onde
é constante real a determinar pela condição inicial.
Passo 6
Imponha a condição inicial
. Substitua
e
na relação integral:
Logo
Portanto a relação explícita sem constante é
Passo 7
Transforme a relação em uma equação quadrática em
para isolar
:
Considere
como incógnita e aplique a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
, a solução é
. Aqui temos coeficientes: coeficiente de
é
, coeficiente de
é
e termo constante é
.
Passo 8
Aplique a fórmula quadrática:
Calcule o discriminante dentro da raiz:
Factorizando
:
Assim a raiz é
. Portanto
Passo 9
Escolha o sinal usando a condição inicial
. Avaliando a expressão geral em
:
As duas possibilidades dão
(com sinal
) ou
(com sinal
). Como precisamos de
, devemos escolher o sinal negativo. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 10
Verifique a consistência local: a solução encontrada satisfaz
e para
próximos de
o radicando
é positivo (em
vale
), então a raiz é bem definida numa vizinhança de
. Note que a equação original tem denominador
, que é zero quando
; a solução que encontramos evita
no ponto
(aqui
), portanto a separação e a unicidade local são válidas enquanto
. (Isto garante consistência do método; não precisamos procurar soluções constantes
porque
não satisfaz a equação dada — o lado direito seria indefinido.)