Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2(y-1)}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'=\frac{3x^{2}+4x+2}{2(y-1)},\qquad y(0)=0.
O que se pede: determinar a(s) função(ões) y(x) que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dada. Lista das informações relevantes:
\text{Equação: } \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2(y-1)}.çã
\text{Condição inicial: } y(0)=0.çã

Passo 2

Observação inicial e justificativa do método (sem resolver ainda): a equação está escrita como \dfrac{dy}{dx}= expressão que separa claramente em uma função de x dividida por uma função de y. Quando temos essa forma, podemos usar o método de variáveis separáveis: multiplicamos termos em y para o lado de dy e termos em x para o lado de dx, e então integramos ambos os lados. Isso é válido porque estamos lidando com funções diferenciáveis onde as expressões envolvidas não anulam denominadores no ponto considerado (verificaremos a consistência com a condição inicial depois).

Passo 3

Separe as variáveis: começar da equação
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2(y-1)}.
Multiplicamos ambos os lados por 2(y-1) e por dx para obter:
2(y-1)\,dy=(3x^{2}+4x+2)\,dx.
Agora cada lado depende apenas de uma variável: o lado esquerdo é função de y vezes dy, o direito é função de x vezes dx. Pronto para integrar.

Passo 4

Integre ambos os lados. À esquerda:
\int 2(y-1)\,dy = 2\int (y-1)\,dy.
Calcule a integral passo a passo:
\int (y-1)\,dy = \int y\,dy - \int 1\,dy = \frac{y^{2}}{2}-y.
Multiplicando por 2:
2\left(\frac{y^{2}}{2}-y\right)=y^{2}-2y.
À direita:
\int (3x^{2}+4x+2)\,dx = \int 3x^{2}\,dx + \int 4x\,dx + \int 2\,dx.
Calcule termo a termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3},\qquad \int 4x\,dx = 2x^{2},\qquad \int 2\,dx = 2x.
Somando:
\int (3x^{2}+4x+2)\,dx = x^{3}+2x^{2}+2x.

Passo 5

Inclua constante de integração e iguale os resultados das integrais:
y^{2}-2y = x^{3}+2x^{2}+2x + C,
onde C é constante real a determinar pela condição inicial.

Passo 6

Imponha a condição inicial y(0)=0. Substitua x=0 e y=0 na relação integral:
0^{2}-2\cdot 0 = 0^{3}+2\cdot 0^{2}+2\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad 0 = 0 + C.
Logo
C=0.
Portanto a relação explícita sem constante é
y^{2}-2y = x^{3}+2x^{2}+2x.

Passo 7

Transforme a relação em uma equação quadrática em y para isolar y:
y^{2}-2y - \bigl(x^{3}+2x^{2}+2x\bigr)=0.
Considere y como incógnita e aplique a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \,y^{2}+a y + b =0, a solução é y=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^{2}-4b}}{2}. Aqui temos coeficientes: coeficiente de y^{2} é 1, coeficiente de y é -2 e termo constante é -\bigl(x^{3}+2x^{2}+2x\bigr).

Passo 8

Aplique a fórmula quadrática:
y=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot\bigl(-\!(x^{3}+2x^{2}+2x)\bigr)}}{2}.
Calcule o discriminante dentro da raiz:
(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot\bigl(-\!(x^{3}+2x^{2}+2x)\bigr) = 4 + 4\bigl(x^{3}+2x^{2}+2x\bigr).
Factorizando 4:
4\bigl(1 + x^{3}+2x^{2}+2x\bigr).
Assim a raiz é \sqrt{4(1 + x^{3}+2x^{2}+2x)} = 2\sqrt{1 + x^{3}+2x^{2}+2x}. Portanto
y=\frac{2\pm 2\sqrt{1 + x^{3}+2x^{2}+2x}}{2}=1\pm\sqrt{1 + x^{3}+2x^{2}+2x}.

Passo 9

Escolha o sinal usando a condição inicial y(0)=0. Avaliando a expressão geral em x=0:
y(0)=1\pm\sqrt{1+0+0+0}=1\pm 1.
As duas possibilidades dão y(0)=2 (com sinal +) ou y(0)=0 (com sinal -). Como precisamos de y(0)=0, devemos escolher o sinal negativo. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=1-\sqrt{1 + x^{3}+2x^{2}+2x}.

Passo 10

Verifique a consistência local: a solução encontrada satisfaz y(0)=0 e para x próximos de 0 o radicando 1 + x^{3}+2x^{2}+2x é positivo (em x=0 vale 1), então a raiz é bem definida numa vizinhança de 0. Note que a equação original tem denominador 2(y-1), que é zero quando y=1; a solução que encontramos evita y=1 no ponto x=0 (aqui y(0)=0), portanto a separação e a unicidade local são válidas enquanto y(x)\neq 1. (Isto garante consistência do método; não precisamos procurar soluções constantes y\equiv 1 porque y\equiv 1 não satisfaz a equação dada — o lado direito seria indefinido.)

Resposta

y(x)=1-\sqrt{1+x^{3}+2x^{2}+2x}

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