Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{y}{x^{2}+x}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução com esse valor inicial.
  • Equação diferencial: y'=\dfrac{y}{x^{2}+x}.
  • Condição inicial: y(1)=2.
  • Observação importante (informação do enunciado): a expressão no denominador x^{2}+x anula-se em x=0 e x=-1, então a equação não está definida nesses pontos.
O que precisamos encontrar: a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição y(1)=2. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é separável (ou seja, se conseguimos escrever todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro). Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}+x}.
Isso pode ser reescrito movendo y para a esquerda e o resto para a direita:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x^{2}+x}\,dx.
Explicação rápida: separar variáveis significa obter uma expressão do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx para poder integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Agora vamos integrar ambos os lados. Integramos em y à esquerda e em x à direita:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x^{2}+x}\,dx.
A integral à esquerda é padrão; a da direita precisa de manipulação algébrica (frações parciais).

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais da função racional em x\): \[\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1) obtemos
1 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A.
Comparando coeficientes, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Assim A=1\] e \(B=-1. Portanto
\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.]

Passo 5

Substituímos essa decomposição na integral do lado direito:
\int \frac{1}{x^{2}+x}\,dx = \int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1,
\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C_2.
Juntando as constantes de integração (podemos usar somente uma constante C) obtemos
\ln|y| = \ln|x| - \ln|x+1| + C.

Passo 6

Simplificamos o lado direito usando propriedades dos logaritmos:
\ln|y| = \ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right| + C.
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando e^{(\cdot)}) para eliminar o logaritmo:
|y| = e^{C}\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Chamando C'\equiv e^{C}>0, temos
|y| = C'\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Para obter a forma geral, permitimos que a constante multiplicativa inclua o sinal (isto é, K=\pm C' qualquer real não nulo), então
y = K\frac{x}{x+1},
onde K é uma constante real a determinar pela condição inicial. Observação: essa forma está válida nos intervalos onde x e x+1 não mudam de sinal, respeitando as singularidades mencionadas.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=2 para determinar K. Substituindo x=1 e y=2 em y=K\frac{x}{x+1}:
2 = K\cdot\frac{1}{1+1}=K\cdot\frac{1}{2}.
Logo
K = 2\cdot 2 = 4.

Passo 8

Substituindo K=4 na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{4x}{x+1}.

Passo 9

Verificação rápida (útil para ter confiança): calculamos y' por regra do quociente para confirmar que a solução satisfaz a equação original.
Derivando y(x)=\dfrac{4x}{x+1}:
y'=\frac{4(x+1)-4x}{(x+1)^{2}}=\frac{4}{(x+1)^{2}}.
Agora avaliamos o lado direito da equação original com y(x):
\frac{y}{x^{2}+x}=\frac{\dfrac{4x}{x+1}}{x(x+1)}=\frac{4x}{x+1}\cdot\frac{1}{x(x+1)}=\frac{4}{(x+1)^{2}}.
Logo y'=\dfrac{y}{x^{2}+x} é satisfeita.

Passo 10

Sobre o domínio da solução: como a equação original não está definida em x=0 e x=-1, a solução particular obtida é válida no intervalo maximal que contém o ponto inicial x=1. O intervalo maximal é (0,\infty) (ou seja, todos os x>0), porque nele não há singularidades e contém x=1.

Resposta

y(x)=\frac{4x}{x+1},\quad x>0

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