Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo: y^{\prime}=\frac{y}{x^{2}+x}, \quad y(1)=2
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução com esse valor inicial.
Equação diferencial: y'=\dfrac{y}{x^{2}+x}.
Condição inicial: y(1)=2.
Observação importante (informação do enunciado): a expressão no denominador x^{2}+x anula-se em x=0 e x=-1, então a equação não está definida nesses pontos.
O que precisamos encontrar: a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição y(1)=2. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é separável (ou seja, se conseguimos escrever todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro). Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}+x}.
Isso pode ser reescrito movendo y para a esquerda e o resto para a direita:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x^{2}+x}\,dx.
Explicação rápida: separar variáveis significa obter uma expressão do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx para poder integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Agora vamos integrar ambos os lados. Integramos em y à esquerda e em x à direita:
Juntando as constantes de integração (podemos usar somente uma constante C) obtemos
\ln|y| = \ln|x| - \ln|x+1| + C.
Passo 6
Simplificamos o lado direito usando propriedades dos logaritmos:
\ln|y| = \ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right| + C.
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando e^{(\cdot)}) para eliminar o logaritmo:
|y| = e^{C}\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Chamando C'\equiv e^{C}>0, temos
|y| = C'\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Para obter a forma geral, permitimos que a constante multiplicativa inclua o sinal (isto é, K=\pm C' qualquer real não nulo), então
y = K\frac{x}{x+1},
onde K é uma constante real a determinar pela condição inicial. Observação: essa forma está válida nos intervalos onde x e x+1 não mudam de sinal, respeitando as singularidades mencionadas.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial y(1)=2 para determinar K. Substituindo x=1 e y=2 em y=K\frac{x}{x+1}:
2 = K\cdot\frac{1}{1+1}=K\cdot\frac{1}{2}.
Logo
K = 2\cdot 2 = 4.
Passo 8
Substituindo K=4 na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{4x}{x+1}.
Passo 9
Verificação rápida (útil para ter confiança): calculamos y' por regra do quociente para confirmar que a solução satisfaz a equação original.
Sobre o domínio da solução: como a equação original não está definida em x=0 e x=-1, a solução particular obtida é válida no intervalo maximal que contém o ponto inicial x=1. O intervalo maximal é (0,\infty) (ou seja, todos os x>0), porque nele não há singularidades e contém x=1.