Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
y'=\frac{x^{2}}{1-y^{2}},\qquad y(1)=1.
O que nos pedem: determinar as soluções que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial indicada. Informações relevantes dadas:
  • A equação é escrita de forma explícita para y'.
  • O membro à direita tem singularidades quando 1-y^{2}=0, ou seja, em y=\pm 1.
  • A condição inicial fixa o valor de y no ponto x=1: y(1)=1, que é justamente um valor onde o denominador zera.

Passo 2

Vamos tentar resolver a equação por separação de variáveis (método básico e apropriado aqui). A equação é
y'=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}.
Escrever y'=\dfrac{dy}{dx} e separar as variáveis:
(1-y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.
Explicando a ideia: separar significa colocar todos os termos com y multiplicando dy num lado e todos os termos com x multiplicando dx no outro lado, para então integrar ambos os lados. Isso é possível porque a equação é do tipo “separável”.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Para a integral em y:
\int (1-y^{2})\,dy = \int 1\,dy - \int y^{2}\,dy = y - \frac{y^{3}}{3}.
Para a integral em x:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Logo, obtemos a relação implícita (adicionando uma constante de integração C):
y - \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituindo x=1 e y=1 na relação implícita:
1 - \frac{1^{3}}{3} = \frac{1^{3}}{3} + C \quad\Rightarrow\quad 1-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+C.
Isso dá
\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{3}.
Portanto a relação implícita com a constante encontrada fica
y - \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3}.
Multiplicando por 3 para simplificar a aparência:
3y - y^{3} = x^{3} + 1.

Passo 5

Até aqui parece que temos uma curva implícita que passa por (1,1). Porém precisamos verificar se essa curva realmente representa uma solução da equação diferencial no sentido clássico — ou seja, uma função y(x) diferenciável numa vizinhança de x=1 com y(1)=1 que satisfaz y'=\dfrac{x^{2}}{1-y^{2}}.
Uma forma direta de testar é diferenciar implicitamente a relação original:
y - \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C.
Derivando ambos os lados em relação a x:
y' - y^{2}y' = x^{2}.
Fatorando y':
y'(1-y^{2}) = x^{2}.
Essa igualdade é exatamente a equação original reescrita — mas atenção: ela envolve o fator 1-y^{2} multiplicando y'.

Passo 6

Agora avaliamos essa última igualdade no ponto fornecido pela condição inicial: x=1, y=1. Substituindo,
y'(1-1^{2}) = 1^{2} \quad\Rightarrow\quad y'\cdot 0 = 1.
Isto dá 0=1, que é uma contradição impossível. O que isso significa, em linguagem simples: não existe um número real y'(1) que satisfaça a equação aqui; portanto não existe uma função diferenciável y(x) numa vizinhança de x=1 que passe por y(1)=1 e satisfaça a equação diferencial (porque, se existisse, a derivada no ponto teria de obedecer a essa igualdade e ela é falsa).
Intuição física/amigável: o lado direito da equação, \dfrac{x^{2}}{1-y^{2}}, explode quando y\to\pm 1. Exigir que a solução passe pelo ponto onde o denominador é zero é pedir que a derivada seja infinita de forma incompatível com a igualdade obtida por diferenciação implícita.

Passo 7

Conclusão detalhada: embora a integração por separação leve a uma curva implícita que passa por (1,1), essa curva não pode representar uma solução diferenciável da equação original que inclua o ponto x=1, porque ao tentar igualar as derivadas obtemos contradição. Em termos do problema de valor inicial clássico (procurar uma solução diferenciável definida numa vizinhança de x=1 e satisfazendo y(1)=1), não existe solução.
Nota extra (útil para prova): existem soluções implícitas dadas por
y - \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
que definem funções y(x) em intervalos em que y(x)\neq\pm 1. Essas soluções podem ter limite 1 quando x tende a 1 por um lado, mas nenhuma delas é diferenciável em x=1 com y(1)=1, logo nenhuma atende à condição inicial no sentido usual.

Resposta

Não existe solução diferenciável que satisfaça \;y'=\dfrac{x^{2}}{1-y^{2}}\; e \;y(1)=1.

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