Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que nos pedem: determinar as soluções que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial indicada. Informações relevantes dadas:
- A equação é escrita de forma explícita para
. - O membro à direita tem singularidades quando
, ou seja, em . - A condição inicial fixa o valor de
no ponto : , que é justamente um valor onde o denominador zera.
Passo 2
Vamos tentar resolver a equação por separação de variáveis (método básico e apropriado aqui). A equação é
Escrever
e separar as variáveis:
Explicando a ideia: separar significa colocar todos os termos com
multiplicando
num lado e todos os termos com
multiplicando
no outro lado, para então integrar ambos os lados. Isso é possível porque a equação é do tipo “separável”.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Para a integral em
:
Para a integral em
:
Logo, obtemos a relação implícita (adicionando uma constante de integração
):
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na relação implícita:
Isso dá
Portanto a relação implícita com a constante encontrada fica
Multiplicando por
para simplificar a aparência:
Passo 5
Até aqui parece que temos uma curva implícita que passa por
. Porém precisamos verificar se essa curva realmente representa uma solução da equação diferencial no sentido clássico — ou seja, uma função
diferenciável numa vizinhança de
com
que satisfaz
.
Uma forma direta de testar é diferenciar implicitamente a relação original:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Fatorando
:
Essa igualdade é exatamente a equação original reescrita — mas atenção: ela envolve o fator
multiplicando
.
Passo 6
Agora avaliamos essa última igualdade no ponto fornecido pela condição inicial:
,
. Substituindo,
Isto dá
, que é uma contradição impossível. O que isso significa, em linguagem simples: não existe um número real
que satisfaça a equação aqui; portanto não existe uma função diferenciável
numa vizinhança de
que passe por
e satisfaça a equação diferencial (porque, se existisse, a derivada no ponto teria de obedecer a essa igualdade e ela é falsa).
Intuição física/amigável: o lado direito da equação,
, explode quando
. Exigir que a solução passe pelo ponto onde o denominador é zero é pedir que a derivada seja infinita de forma incompatível com a igualdade obtida por diferenciação implícita.
Passo 7
Conclusão detalhada: embora a integração por separação leve a uma curva implícita que passa por
, essa curva não pode representar uma solução diferenciável da equação original que inclua o ponto
, porque ao tentar igualar as derivadas obtemos contradição. Em termos do problema de valor inicial clássico (procurar uma solução diferenciável definida numa vizinhança de
e satisfazendo
), não existe solução.
Nota extra (útil para prova): existem soluções implícitas dadas por
que definem funções
em intervalos em que
. Essas soluções podem ter limite
quando
tende a
por um lado, mas nenhuma delas é diferenciável em
com
, logo nenhuma atende à condição inicial no sentido usual.
Resposta
Não existe solução diferenciável que satisfaça
e
.