Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com valor inicial
Informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - A equação vale apenas para
(pois o coeficiente anula-se em ). - O que o problema pede: determinar a solução
que satisfaz a condição inicial .
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma a separar
e
. Partimos de
Passando o termo
para o outro lado:
Dividindo por
(válido quando
) e lembrando que
, obtemos
Esta forma permite separar variáveis: colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os envolvendo
do outro.
Passo 3
Separe as variáveis e integre:
Agora integramos ambos os lados. Lembre que
. Aplicando:
onde
é constante de integração. Observação: ao integrar usamos valor absoluto porque o logaritmo natural requer argumento positivo; isso é resolvido ao introduzir a constante arbitrária depois.
Passo 4
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Escrevendo
com sinal livre (ou simplesmente permitindo
), obtemos a forma geral
onde
é uma constante real. Nota: o caso
dá a solução trivial
, que está incluída aqui.
Passo 5
Aplique a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
logo
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida:
. Substituindo na equação original:
confere. Sobre o domínio: a solução foi obtida supondo
; como a condição inicial é em
, a solução válida no intervalo que contém
e evita
é
. A solução é única nesse intervalo por propriedades padrão de equações de primeira ordem (os coeficientes são contínuos em
para
).