Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
(x-1) y^{\prime}-y=0, \quad y(2)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com valor inicial
(x-1)\,y'-y=0,\qquad y(2)=3.
Informações relevantes:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação vale apenas para x\neq1 (pois o coeficiente (x-1) anula-se em x=1).
  • O que o problema pede: determinar a solução y(x) que satisfaz a condição inicial y(2)=3.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma a separar y e x. Partimos de
(x-1)\,y' - y = 0.
Passando o termo y para o outro lado:
(x-1)\,y' = y.
Dividindo por x-1 (válido quando x\neq1) e lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-1}.
Esta forma permite separar variáveis: colocar todos os termos envolvendo y de um lado e os envolvendo x do outro.

Passo 3

Separe as variáveis e integre:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x-1}\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Lembre que \displaystyle\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Aplicando:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x-1}\,dx
\ln|y| = \ln|x-1| + C,
onde C é constante de integração. Observação: ao integrar usamos valor absoluto porque o logaritmo natural requer argumento positivo; isso é resolvido ao introduzir a constante arbitrária depois.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados para resolver para y:
|y| = e^{C}\,|x-1|.
Escrevendo K=e^{C} com sinal livre (ou simplesmente permitindo K\in\mathbb{R}), obtemos a forma geral
y = K(x-1),
onde K é uma constante real. Nota: o caso K=0 dá a solução trivial y\equiv0, que está incluída aqui.

Passo 5

Aplique a condição inicial y(2)=3. Substituindo x=2 na solução geral:
3 = y(2) = K(2-1) = K\cdot 1,
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K=3.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=3(x-1).

Passo 6

Verificação rápida: y'(x)=3. Substituindo na equação original:
(x-1)\,y' - y = (x-1)\cdot 3 - 3(x-1)=0,
confere. Sobre o domínio: a solução foi obtida supondo x\neq1; como a condição inicial é em x=2, a solução válida no intervalo que contém 2 e evita 1 é x\in(1,\infty). A solução é única nesse intervalo por propriedades padrão de equações de primeira ordem (os coeficientes são contínuos em x para x\neq1).

Resposta

y(x)=3(x-1),\quad x\in(1,\infty)

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