Qual o domínio da função f x=2 x-4 / 1-x
a) D(f)=\{x \in I R \mid x>2\}
b) D(f)=\{x \in I R \mid x \neq 2\}
c) D(f)=\{x \in|R| x<1\}
d) D(f)=\{x \in|R| x \neq 1\}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por \displaystyle f(x)=\frac{2x-4}{1-x} (interpretei a expressão como \dfrac{2x-4}{1-x}). A pergunta é: qual é o domínio de f?
As alternativas são:
\text{(a) }D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>2\}
\text{(b) }D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2\}
\text{\text{(c)} }D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<1\}
\text{(d) }D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}
Informações relevantes dadas: a função é uma fração (racional) com numerador 2x-4 e denominador 1-x. Não há figura nem outros dados.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o domínio de uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} é o conjunto de todos os números reais exceto aqueles que anulam o denominador q(x), porque divisão por zero não é definida. Ou seja, devemos resolver \;q(x)=0\; e excluir as raízes encontradas do conjunto \mathbb{R}.
Exemplo simples para fixar: a função g(x)=\dfrac{1}{x-3} tem denominador x-3. Resolvo x-3=0\Rightarrow x=3. Então o domínio de g é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq3\}.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: o denominador é 1-x. Encontramos onde ele é zero:
1-x=0.
Resolvo a equação passo a passo: subtraio 1 de ambos os lados,
1-x-1=0-1 \quad\Rightarrow\quad -x=-1.
Multiplico ambos os lados por -1,
x=1.
Portanto o denominador se anula apenas em x=1.

Passo 4

Conclusão sobre o domínio: devemos excluir x=1 dos reais. Assim o domínio é
D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}.
Observação didática: vale checar se existe alguma simplificação que cancele (1-x) com fator do numerador (se cancelasse, poderíamos ter uma remoção do problema em x=1). O numerador é 2x-4=2(x-2), que não contém o fator (1-x) nem (x-1), então não há cancelamento. Logo x=1 permanece proibido.

Passo 5

Verificação rápida: x=2 é permitido (substituindo dá \dfrac{2\cdot2-4}{1-2}=\dfrac{0}{-1}=0), então excluir 2 (alternativa (b)) estaria errado. Também não há razão para restringir a x>2 ou x<1. Logo a alternativa correta é a que exclui apenas 1.

Resposta

\;D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}

Exercícios relacionados