Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes:
- A equação relaciona a derivada de
apenas com : o lado direito é . - A expressão
exige que para valores reais, isto é, . - A condição inicial é dada em
, que é um dos extremos do intervalo onde a raiz é nula ( ), ou seja, o lado direito tende a infinito em . Isso pode afetar os teoremas padrão de existência/unicidade, mas seguiremos buscando funções que satisfaçam a equação para onde ela é bem definida e que coincidem com .
Passo 2
Observação sobre o método: aqui temos uma equação da forma
(isto é, a derivada de
depende só de
). Nesses casos podemos obter soluções integrando:
onde
é constante de integração. Esta regra vem do Teorema Fundamental do Cálculo: se
então
é uma primitiva de
.
Passo 3
Calcular a primitiva de
. Sabemos (e vamos justificar) que uma primitiva é
, porque a derivada de
é justamente
. Para justificar rapidamente: defina
, então
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
, logo
Como
(escolhendo o sinal positivo no intervalo de definição usual de
), conclui-se que
Portanto uma primitiva é
, e a solução geral (onde a expressão é válida) é
com
constante.
Passo 4
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
e
em
temos
Como
, obtemos
Passo 5
Logo a solução particular obtida é
Observações sobre domínio e regularidade:
- A fórmula da derivada que usamos vale para
. Portanto a equação diferencial é satisfeita para todos com . - A função
está definida e contínua em todo o intervalo , e em particular , cumprindo a condição inicial. Entretanto, o lado direito da ODE é não definido em (singularidade), logo a igualdade só faz sentido como identidade para . - O teorema padrão de existência/unicidade não se aplica em
porque não é contínua num entorno de . Mesmo assim, a função encontrada é a solução natural que satisfaz a ODE em e a condição por continuidade no extremo . - Alternativamente, se preferir outra forma equivalente, usando
(sabendo ), podemos escrever a solução como
que também satisfaz
em
e
.