Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad y(1)=0.
Informações relevantes:
  • A equação relaciona a derivada de y apenas com x: o lado direito é 1/\sqrt{1-x^{2}}.
  • A expressão \sqrt{1-x^{2}} exige que 1-x^{2}\ge 0 para valores reais, isto é, x\in[-1,1].
  • A condição inicial é dada em x=1, que é um dos extremos do intervalo onde a raiz é nula ( \sqrt{1-1^{2}}=0), ou seja, o lado direito tende a infinito em x=1. Isso pode afetar os teoremas padrão de existência/unicidade, mas seguiremos buscando funções que satisfaçam a equação para x onde ela é bem definida e que coincidem com y(1)=0.

Passo 2

Observação sobre o método: aqui temos uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=g(x) (isto é, a derivada de y depende só de x). Nesses casos podemos obter soluções integrando:
dy = g(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad y(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Esta regra vem do Teorema Fundamental do Cálculo: se y'(x)=g(x) então y é uma primitiva de g.

Passo 3

Calcular a primitiva de g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Sabemos (e vamos justificar) que uma primitiva é \arcsin(x), porque a derivada de \arcsin(x) é justamente \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Para justificar rapidamente: defina u=\arcsin(x), então \sin u = x. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos \cos u\cdot \dfrac{du}{dx}=1, logo
\frac{du}{dx}=\frac{1}{\cos u}.
Como \cos u=\sqrt{1-\sin^{2}u}=\sqrt{1-x^{2}} (escolhendo o sinal positivo no intervalo de definição usual de \arcsin), conclui-se que
\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto uma primitiva é \arcsin(x), e a solução geral (onde a expressão é válida) é
y(x)=\arcsin(x)+C,
com C constante.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y(1)=0 em y(x)=\arcsin(x)+C temos
0=\arcsin(1)+C.
Como \arcsin(1)=\dfrac{\pi}{2}, obtemos
0=\frac{\pi}{2}+C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Logo a solução particular obtida é
y(x)=\arcsin(x)-\frac{\pi}{2}.
Observações sobre domínio e regularidade:
  • A fórmula da derivada que usamos vale para x\in(-1,1). Portanto a equação diferencial é satisfeita para todos x com -1<x<1.
  • A função \arcsin(x)-\dfrac{\pi}{2} está definida e contínua em todo o intervalo [-1,1], e em particular y(1)=\arcsin(1)-\dfrac{\pi}{2}=0, cumprindo a condição inicial. Entretanto, o lado direito da ODE é não definido em x=\pm 1 (singularidade), logo a igualdade \dfrac{dy}{dx}=1/\sqrt{1-x^{2}} só faz sentido como identidade para x\in(-1,1).
  • O teorema padrão de existência/unicidade não se aplica em x=1 porque g(x)=1/\sqrt{1-x^{2}} não é contínua num entorno de x=1. Mesmo assim, a função encontrada é a solução natural que satisfaz a ODE em (-1,1) e a condição y(1)=0 por continuidade no extremo x=1.
  • Alternativamente, se preferir outra forma equivalente, usando \operatorname{arccos}(x) (sabendo \arcsin(x)-\dfrac{\pi}{2}=-\operatorname{arccos}(x)), podemos escrever a solução como
y(x)=-\operatorname{arccos}(x),
que também satisfaz y'(x)=1/\sqrt{1-x^{2}} em (-1,1) e y(1)=0.

Resposta

y(x)=\arcsin(x)-\dfrac{\pi}{2} (válida em -1<x<1, estendida por continuidade em x=1 com y(1)=0).

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