Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Pergunta: determinar a solução
que satisfaz essa condição inicial.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A derivada
é uma função que depende só de : . - Condição inicial no ponto
: . - Note mental: o denominador anula em
e , então a solução não pode ser estendida através desses pontos; a solução procurada deve ser no intervalo que contém e não cruza essas singularidades (no caso, o intervalo maximal contendo é ).
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial em uma integral direta. Sempre que temos uma equação da forma
podemos integrar ambos os lados em relação a
para obter
onde
é a constante de integração. Aqui
. Então precisamos calcular a integral
Vou mostrar passo a passo como calcular essa integral para encontrar
.
Passo 3
A integral é de uma função racional com fatores lineares no denominador. O método mais direto é decompor em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Explicando por que essa forma: o fator
pede termos
e o fator
pede um termo
. Agora vamos determinar
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando potências de
:
Igualamos coeficientes das potências de
com os do lado esquerdo (onde só há constante
):
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
A partir de
temos
, logo
. E de
obtemos
. Portanto
Passo 5
Substituindo os coeficientes na decomposição obtemos
Agora integramos termo a termo:
-
(logaritmo natural; lembrar do valor absoluto porque pode ser negativo em geral), -
, -
.
Somando as primitivas, a antiderivada geral é
onde
é a constante de integração. Assim a solução geral da EDO é
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Avaliando
em
:
Como
e
, isso dá
Cancelando
dos dois lados obtemos
, logo
Passo 7
Substituindo
na expressão geral temos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Como a condição inicial está em
(positivo) e as singularidades estão em
e
, a solução válida no intervalo maximal que contém
é para
. Para
podemos eliminar os valores absolutos nas funções logarítmicas: