Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x^{2}(1+x)}, y(1)=\ln 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^{2}(1+x)},\qquad y(1)=\ln 2.
Pergunta: determinar a solução y(x) que satisfaz essa condição inicial.
Informações relevantes dadas:
  • A derivada dy/dx é uma função que depende só de x: \dfrac{1}{x^{2}(1+x)}.
  • Condição inicial no ponto x=1: y(1)=\ln 2.
  • Note mental: o denominador anula em x=0 e x=-1, então a solução não pode ser estendida através desses pontos; a solução procurada deve ser no intervalo que contém x=1 e não cruza essas singularidades (no caso, o intervalo maximal contendo 1 é (0,\infty)).

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial em uma integral direta. Sempre que temos uma equação da forma
\frac{dy}{dx}=f(x),
podemos integrar ambos os lados em relação a x para obter
y(x)=\int f(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Aqui f(x)=\dfrac{1}{x^{2}(1+x)}. Então precisamos calcular a integral
\int \frac{1}{x^{2}(1+x)}\,dx.
Vou mostrar passo a passo como calcular essa integral para encontrar y(x).

Passo 3

A integral é de uma função racional com fatores lineares no denominador. O método mais direto é decompor em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{x^{2}(1+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{1+x}.
Explicando por que essa forma: o fator x^{2} pede termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}} e o fator (1+x) pede um termo \dfrac{C}{1+x}. Agora vamos determinar A,B,C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(1+x) para eliminar denominadores:
1 = A\cdot x(1+x) + B\cdot(1+x) + C\cdot x^{2}.
Expandindo os termos do lado direito:
1 = A x + A x^{2} + B + B x + C x^{2}.
Agrupando potências de x:
1 = (A + C) x^{2} + (A + B) x + B.
Igualamos coeficientes das potências de x com os do lado esquerdo (onde só há constante 1):
  • coeficiente de x^{2}: A + C = 0,
  • coeficiente de x: A + B = 0,
  • termo constante: B = 1.
A partir de B=1 temos A + 1 = 0, logo A=-1. E de A + C =0 obtemos C=1. Portanto
A=-1,\qquad B=1,\qquad C=1.

Passo 5

Substituindo os coeficientes na decomposição obtemos
\frac{1}{x^{2}(1+x)} = -\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{1+x}.
Agora integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x| (logaritmo natural; lembrar do valor absoluto porque x pode ser negativo em geral),
  • \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x},
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+x}\,dx = \ln|1+x|.
Somando as primitivas, a antiderivada geral é
\int \frac{1}{x^{2}(1+x)}\,dx = -\ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|1+x| + C,
onde C é a constante de integração. Assim a solução geral da EDO é
y(x) = -\ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|1+x| + C.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=\ln 2 para determinar C. Avaliando y(x) em x=1:
y(1) = -\ln|1| -\frac{1}{1} + \ln|1+1| + C.
Como \ln|1|=0 e \ln|2|=\ln 2, isso dá
\ln 2 = 0 - 1 + \ln 2 + C.
Cancelando \ln 2 dos dois lados obtemos -1 + C = 0, logo
C = 1.

Passo 7

Substituindo C=1 na expressão geral temos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = -\ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|1+x| + 1.
Como a condição inicial está em x=1 (positivo) e as singularidades estão em x=0 e x=-1, a solução válida no intervalo maximal que contém 1 é para x>0. Para x>0 podemos eliminar os valores absolutos nas funções logarítmicas:
y(x) = -\ln x -\frac{1}{x} + \ln(1+x) + 1,\qquad x>0.

Resposta

y(x)=-\ln x-\frac{1}{x}+\ln(1+x)+1,\qquad x>0

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