Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com valor inicial dado. Informações fornecidas:
condição inicial
Objetivo: determinar a função
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): quando a equação tem a forma
, isto significa que a derivada de
em relação a
é uma função somente de
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos recuperar
integrando
:
onde
é uma constante arbitrária. Aqui temos
, então precisamos calcular a integral de
. Vou mostrar um método simples (substituição) passo a passo.
Passo 3
Calcular a integral
por substituição. Seja
Então
Substituindo na integral obtemos
Voltando à variável
,
Logo a solução geral da equação diferencial é
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar
. Temos
. Primeiro calcule
:
Então
Substituindo em
:
Portanto
Passo 5
Escrever a solução particular encontrada. Substituindo
em
, obtemos
Podemos também apresentar uma forma alternativa usando a identidade
. Aplicando-a:
logo
Ambas as expressões são equivalentes. Para checar rapidamente, diferenciando
obtemos
que bate com a equação dada, e
também é satisfeita.
Resposta
ou equivalentemente