Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen} x \cos x, y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com valor inicial dado. Informações fornecidas:
\frac{dy}{dx}=\sin x\cos x,
condição inicial
y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Objetivo: determinar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando a equação tem a forma \frac{dy}{dx}=f(x), isto significa que a derivada de y em relação a x é uma função somente de x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos recuperar y integrando f(x):
y(x)=\int f(x)\,dx + C,
onde C é uma constante arbitrária. Aqui temos f(x)=\sin x\cos x, então precisamos calcular a integral de \sin x\cos x. Vou mostrar um método simples (substituição) passo a passo.

Passo 3

Calcular a integral \displaystyle \int \sin x\cos x\,dx por substituição. Seja
u=\sin x.
Então
du=\cos x\,dx.
Substituindo na integral obtemos
\int \sin x\cos x\,dx=\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C.
Voltando à variável x,
\int \sin x\cos x\,dx=\frac{\sin^{2}x}{2}+C.
Logo a solução geral da equação diferencial é
y(x)=\frac{\sin^{2}x}{2}+C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar C. Temos y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1. Primeiro calcule \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right):
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
\sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Substituindo em y(x):
1=y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+C=\frac{1}{4}+C.
Portanto
C=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Escrever a solução particular encontrada. Substituindo C=\frac{3}{4} em y(x), obtemos
y(x)=\frac{\sin^{2}x}{2}+\frac{3}{4}.
Podemos também apresentar uma forma alternativa usando a identidade \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}. Aplicando-a:
\frac{\sin^{2}x}{2}=\frac{1-\cos 2x}{4},
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y(x)=\frac{1-\cos 2x}{4}+\frac{3}{4}=1-\frac{\cos 2x}{4}.
Ambas as expressões são equivalentes. Para checar rapidamente, diferenciando y(x)=\frac{\sin^{2}x}{2}+\frac{3}{4} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=\sin x\cos x,
que bate com a equação dada, e y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 também é satisfeita.

Resposta

y(x)=\frac{\sin^{2}x}{2}+\frac{3}{4}
ou equivalentemente
y(x)=1-\frac{\cos 2x}{4}.

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