portanto x=0,\;x=2,\;x=-1 são singularidades da expressão. A condição inicial usa x=-\tfrac{1}{4}, que não é uma dessas singularidades.
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) da equação diferencial que satisfaça a condição y\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=3.
Passo 2
Escolha do método: observe que o membro direito da equação depende só de x. Logo a equação é do tipo separável trivial (na verdade é uma ODE de primeira ordem com o lado direito sendo somente função de x). Nesses casos basta integrar em x:
\frac{dy}{dx}=g(x)\quad\Longrightarrow\quad dy=g(x)\,dx\quad\Longrightarrow\quad y=\int g(x)\,dx + C.
Aqui g(x)=\dfrac{4x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}. Então vamos calcular a primitiva desse g(x).
Passo 3
Antes de integrar, simplificamos a forma do denominador (já feita no Passo 1):
x^{3}-x^{2}-2x = x(x-2)(x+1).
Como o grau do numerador (4x-2, grau 1) é menor que o do denominador (grau 3), podemos usar decomposição em frações parciais do tipo
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicando a ideia: escrevemos a fração racional como soma de frações simples porque as integrais dessas frações simples são logaritmos naturais, que são fáceis de calcular.
Passo 4
Encontrando A,B,C. Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+1) obtemos a identidade:
4x-2 = A(x-2)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-2).
Para determinar A,B,C usamos valores convenientes de x:
y\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=0 + C = 3 \quad\Rightarrow\quad C=3.
Passo 7
Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial e observando o domínio: a fórmula encontrada não vale em x=0,2,-1 (singularidades). A condição inicial x=-\tfrac{1}{4} está no intervalo (-1,0), então a solução é válida nesse intervalo (e em qualquer intervalo contínuo que não contenha as singularidades).