Determine as soluções com valores iniciais a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{4 x-2}{x^{3}-x^{2}-2 x}, y\left(-\frac{1}{4}\right)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}=\frac{4x-2}{x^{3}-x^{2}-2x},\qquad y\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=3.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
\text{o lado direito é a função } \frac{4x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}.éçã
Os pontos onde o denominador anula (ou seja, onde a expressão não está definida) são soluções de
x^{3}-x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+1)=0,
portanto x=0,\;x=2,\;x=-1 são singularidades da expressão. A condição inicial usa x=-\tfrac{1}{4}, que não é uma dessas singularidades.
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) da equação diferencial que satisfaça a condição y\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=3.

Passo 2

Escolha do método: observe que o membro direito da equação depende só de x. Logo a equação é do tipo separável trivial (na verdade é uma ODE de primeira ordem com o lado direito sendo somente função de x). Nesses casos basta integrar em x:
\frac{dy}{dx}=g(x)\quad\Longrightarrow\quad dy=g(x)\,dx\quad\Longrightarrow\quad y=\int g(x)\,dx + C.
Aqui g(x)=\dfrac{4x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}. Então vamos calcular a primitiva desse g(x).

Passo 3

Antes de integrar, simplificamos a forma do denominador (já feita no Passo 1):
x^{3}-x^{2}-2x = x(x-2)(x+1).
Como o grau do numerador ( 4x-2, grau 1) é menor que o do denominador (grau 3), podemos usar decomposição em frações parciais do tipo
\frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicando a ideia: escrevemos a fração racional como soma de frações simples porque as integrais dessas frações simples são logaritmos naturais, que são fáceis de calcular.

Passo 4

Encontrando A,B,C. Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+1) obtemos a identidade:
4x-2 = A(x-2)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-2).
Para determinar A,B,C usamos valores convenientes de x:
  • Tomando x=0 (que anula os termos com B e C):
4\cdot0-2 = A(0-2)(0+1) \quad\Rightarrow\quad -2 = -2A \quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Tomando x=2 (anula A e C):
4\cdot2-2 = B\cdot 2\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad 8-2=6=6B \quad\Rightarrow\quad B=1.
  • Tomando x=-1 (anula A e B):
4(-1)-2 = C\cdot(-1)\cdot(-3) \quad\Rightarrow\quad -4-2=-6=3C \quad\Rightarrow\quad C=-2.
Portanto a decomposição é
\frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+1}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrando que \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C e \displaystyle\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Assim
\int \frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)}\,dx = \int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+1}\right)dx = \ln|x|+\ln|x-2|-2\ln|x+1| + C.
Podemos agrupar os logaritmos:
\ln|x|+\ln|x-2|-2\ln|x+1| = \ln\left|\frac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}\right|.
Logo a solução geral da ODE é
y(x)=\ln\left|\frac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}\right| + C.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=3 para determinar C. Substituindo x=-\tfrac{1}{4} na expressão dentro do \ln:
x=-\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x-2=-\tfrac{9}{4},\quad x+1=\tfrac{3}{4}.
Calculamos
x(x-2)=\left(-\tfrac{1}{4}\right)\left(-\tfrac{9}{4}\right)=\tfrac{9}{16}, \qquad (x+1)^{2}=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=\tfrac{9}{16}.
Portanto
\frac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}=\frac{9/16}{9/16}=1 \quad\Rightarrow\quad \ln\left|\frac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}\right|=0.
Da expressão da solução:
y\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=0 + C = 3 \quad\Rightarrow\quad C=3.

Passo 7

Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial e observando o domínio: a fórmula encontrada não vale em x=0,2,-1 (singularidades). A condição inicial x=-\tfrac{1}{4} está no intervalo (-1,0), então a solução é válida nesse intervalo (e em qualquer intervalo contínuo que não contenha as singularidades).
A solução final é
y(x)=\ln\left|\frac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}\right| + 3,\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,2\}.

Resposta

\displaystyle y(x)=\ln\left|\frac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}\right|+3

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