Determine a soma фas séries numéricas:
(1.25 valores ) 1-\ln 5+\frac{1}{2 !}(\ln 5)^{2}-\frac{1}{3 !}(\ln 5)^{3}+\ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica
1 − ln 5+ \tfrac{1}{2!}(\ln 5)^{2} \tfrac{1}{3!}(\ln 5)^{3} + …
e pede a soma dessa série. O conteúdo aqui é reconhecer a expansão em série de potências da função exponencial.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral dessa série. Para k\ge0, o k-ésimo termo é
a_k = (-1)^k \,\frac{(\ln 5)^k}{k!}.

Passo 3

Recordando a expansão de Maclaurin da exponencial, temos
e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}.
Se escolhermos x = -\ln 5, então
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-\ln 5)^k}{k!} = e^{-\ln 5}.
Mas note que (-\ln 5)^k = (-1)^k(\ln 5)^k, exatamente nosso termo a_k.

Passo 4

Logo, a soma da série é
e^{-\ln 5} = \frac{1}{e^{\ln 5}} = \frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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