1. A queda de pressão em conduta durante processos industriais, pode ser dada pela seguinte expressão: (\mathbf{5 , 0})
    \Delta P=53 \frac{\mu L V A}{D^{2}}, Onde \mu é viscosidade em l b / f t . s, \mathrm{~V} é a velocidade em f t / s, \mathrm{D} e L correspondem, respectivamente ao diâmetro (D) e comprimento (L) da conduta em ft e a área (A) em f t^{2}.
    a) Deduza as unidades fundamentais da queda de pressão.
    b) Derive outra expressão de \Delta P com diâmetro D em polegadas, viscosidade e velocidade no sistema CGS.

Passo 1

O enunciado dá a queda de pressão em conduta pela fórmula
\Delta P \;=\; 53\,\frac{\mu\,L\,V\,A}{D^{2}}
onde as unidades são: \mu em \mathrm{lb}/(\mathrm{ft}\cdot\mathrm{s}), V em \mathrm{ft}/\mathrm{s}, D e L em \mathrm{ft}, A em \mathrm{ft}^{2}.
Pede-se:
a) as unidades fundamentais de \Delta P,
b) reescrever a expressão com D em polegadas e \mu,V no sistema CGS.

Passo 2

Identificamos dimensões básicas (massa M, comprimento L, tempo T): \mu tem dimensão
[\mu] = \frac{M}{L\,T} L traz L, V traz L/T, A traz L^{2}, D^{2} traz L^{2}.
Logo
[\Delta P] = [\mu]\,[L]\,[V]\,[A]\,[D]^{-2} = \frac{M}{L\,T}\;\times L\;\times\frac{L}{T}\;\times L^{2}\;\times L^{-2} = M\,L\,T^{-2}.
Portanto as unidades fundamentais de \Delta P são M\,L\,T^{-2}.

Passo 3

Para partir do formato imperial ao CGS com D em polegadas usamos:
1 lb (massa) =453,592 g
1 ft =30,48 cm
1 in =2,54 cm \Rightarrow 1 ft =12 in
e no CGS \mu em g/(c m\cdot s), V em cm/s, L em cm, A em c m^{2}, D em in.

Passo 4

Substituindo na fórmula original
\Delta P =53\;\frac{\bigl(\mu_{\rm CGS}\,\frac{453{,}592}{30{,}48}\bigr)\,\bigl(\tfrac{L_{\rm cm}}{30{,}48}\bigr)\,\bigl(\tfrac{V_{\rm cm/s}}{30{,}48}\bigr)\,\bigl(\tfrac{A_{\rm cm^2}}{30{,}48^{2}}\bigr)}{\bigl(\tfrac{D_{\rm in}}{12}\bigr)^{2}}
coletando fatores numéricos
k =53\;\times\frac{453{,}592}{30{,}48^{4}}\times12^{2} \approx4{,}016.

Passo 5

A expressão em CGS (com \Delta P em dyn/c m^{2}) e D em polegadas fica
\boxed{ \Delta P \approx4{,}016\;\frac{\mu_{\rm CGS}\;L_{\rm cm}\;V_{\rm cm/s}\;A_{\rm cm^2}} {D_{\rm in}^{2}} }.

Resposta

a) As dimensões fundamentais de \Delta P são M\,L\,T^{-2}.
b) Com D em polegadas e \mu, V no CGS:
\Delta P \;=\;4{,}016\;\frac{\mu\;L\;V\;A}{D^{2}} \quad \bigl[\mu\!:\mathrm{g}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm{s}),\, L\!:\mathrm{cm},\, V\!:\mathrm{cm}/\mathrm{s},\, A\!:\mathrm{cm}^{2},\, D\!:\mathrm{in}\bigr].

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