Determine a soma фas séries numéricas:
(1.25 valores) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{3^{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{3^{2n+1}}
que é uma série geométrica a partir de n=2. Para resolver, vamos identificar a razão da série e usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
\sum_{n=N}^{\infty} r^{n} = \frac{r^{N}}{1-r},\quad \text{para }|r|<1.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos:
\frac{(-2)^{n}}{3^{2n+1}} = \frac{1}{3}\,\frac{(-2)^{n}}{3^{2n}} = \frac{1}{3}\,\biggl(\frac{-2}{9}\biggr)^{n}.
Logo a série fica
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{3^{2n+1}} = \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{\infty}\biggl(\frac{-2}{9}\biggr)^{n}.

Passo 3

Na soma \sum_{n=2}^{\infty}r^{n} com r=-\tfrac{2}{9}, aplicamos
\sum_{n=2}^{\infty}r^{n} = \frac{r^{2}}{1-r},
portanto
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl(\frac{-2}{9}\biggr)^{n} = \frac{\bigl(-\tfrac{2}{9}\bigr)^{2}}{1 - \bigl(-\tfrac{2}{9}\bigr)} = \frac{\tfrac{4}{81}}{1 + \tfrac{2}{9}} = \frac{\tfrac{4}{81}}{\tfrac{11}{9}} = \frac{4}{81}\cdot\frac{9}{11} = \frac{4}{99}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3}, obtemos
\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{99} = \frac{4}{297}.

Resposta

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{3^{2n+1}} = \frac{4}{297}.

Exercícios relacionados