Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+n}{\sqrt{n^{3}}+2 n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série numérica de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+n}{\sqrt{n^3}+2n}.
O conteúdo envolve séries de termos positivos e o teste de comparação assintótico.

Passo 2

Definimos o termo geral como
a_n = \frac{\sqrt{n}+n}{\sqrt{n^3}+2n}.

Passo 3

Para estudar o comportamento quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n^{3/2}:
a_n = \frac{n^{-1/2} + n^{-1}}{1 + 2\,n^{-1/2}}.

Passo 4

Como n\to\infty, temos n^{-1}\to0 e 2\,n^{-1/2}\to0, logo
a_n \sim n^{-1/2}.

Passo 5

A série \sum n^{-1/2} diverge (é uma p-série com p=\tfrac12\le1). Pelo teste de comparação limite, já que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^{-1/2}} = 1,
a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados