Determine a soma da seguinte série:
sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n+2(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a soma da série infinita:
sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n+2(2 n+1)!
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e fatoriais. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como elas se relacionam com funções trigonométricas como o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a visualização. Observe que pi^2n+2 = pi^2 cdot pi^2n, então a série fica:
pi^2 sumn=0^infty (-1)^n pi^2n(2n+1)!
Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com uma série que se parece com as expansões de funções trigonométricas.

Passo 3

Vamos lembrar das séries de Taylor para as funções seno e cosseno. A série de Taylor para o seno é:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Compare isso com a nossa série. Se colocarmos x = pi, temos:
sin(pi) = sumn=0^infty (-1)^n pi^2n+1(2n+1)! = 0
Mas nossa série tem um pi^2n+2, que é pi cdot pi^2n+1. Então, a nossa série pode ser relacionada a pi vezes o seno de pi.

Passo 4

Vamos expressar a nossa série em termos de sin(pi):
pi^2 sumn=0^infty (-1)^n pi^2n(2n+1)! = pi cdot pi sumn=0^infty (-1)^n pi^2n(2n+1)! = pi cdot sin(pi)
Sabemos que sin(pi) = 0, então:
pi cdot sin(pi) = pi cdot 0 = 0

Resposta

A soma da série é 0.

Exercícios relacionados