Determine a soma da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a soma da série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e fatoriais. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como elas se relacionam com funções trigonométricas como o seno e o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a visualização. Observe que
, então a série fica:
Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com uma série que se parece com as expansões de funções trigonométricas.
Passo 3
Vamos lembrar das séries de Taylor para as funções seno e cosseno. A série de Taylor para o seno é:
Compare isso com a nossa série. Se colocarmos
, temos:
Mas nossa série tem um
, que é
. Então, a nossa série pode ser relacionada a
vezes o seno de
.
Passo 4
Vamos expressar a nossa série em termos de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A soma da série é 0.