Nas questões à seguir, assuma a definição: raiz[a]x^b=x^ba e prove os resultados nos reais.
raiz[a]x^b cdot 1raiz[b]x^a=(raiz[a b]x^(b-a))^(a+b).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo radicais e expoentes racionais: dado raiz[a]x^bcdot1raiz[b]x^a=l(raiz[ab]x^(b-a)r)^(a+b). O conteúdo envolve conversão de radicais em potências racionais e propriedades de expoentes.

Passo 2

Usando a definição raiz[a]x^b=x^tfrac b a e raiz[b]x^a=x^tfrac a b, reescrevemos o lado esquerdo:
$$
\sqrt[a]{x{b}}\cdot\frac1{\sqrt[b]{x{a}}}=x^{\tfrac b a}\cdot x^{-\tfrac a b}\n$$

Passo 3

Aplicamos a propriedade de divisão de potências de mesma base (subtração de expoentes):
$$
x^{\tfrac b a-\tfrac a b}=x{\frac{b2-a^2}{ab}}\n$$

Passo 4

Observamos que b^2-a^2=(b-a)(b+a), logo o expoente fica
$$
\frac{b2-a2}{ab}=\frac{(b-a)(b+a)}{ab}\n b^2-a^2ab=(b-a)(b+a)abnã
x{\frac{(b-a)(b+a)}{ab}}=\bigl(x{\tfrac{b-a}{ab}}\bigr)^{(a+b)}\n$$

Passo 5

Reconhecendo x^tfracb-aab=raiz[ab]x^(b-a), concluímos que
$$
x{\frac{(b-a)(b+a)}{ab}}=\bigl(\sqrt[ab]{x{(b-a)}}\bigr)^{(a+b)}\n$$
e assim a identidade está provada.

Resposta

raiz[a]x^bcdot1raiz[b]x^a=l(raiz[ab]x^(b-a)r)^(a+b)

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