Nas questões à seguir, assuma a definição:
e prove os resultados nos reais.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade envolvendo radicais e expoentes racionais: dado
. O conteúdo envolve conversão de radicais em potências racionais e propriedades de expoentes.
Passo 2
Usando a definição
e
, reescrevemos o lado esquerdo:
$$
\sqrt[a]{x{b}}\cdot\frac1{\sqrt[b]{x{a}}}=x^{\tfrac b a}\cdot x^{-\tfrac a b}\n$$
Passo 3
Aplicamos a propriedade de divisão de potências de mesma base (subtração de expoentes):
$$
x^{\tfrac b a-\tfrac a b}=x{\frac{b2-a^2}{ab}}\n$$
Passo 4
Observamos que
, logo o expoente fica
$$
\frac{b2-a2}{ab}=\frac{(b-a)(b+a)}{ab}\n
x{\frac{(b-a)(b+a)}{ab}}=\bigl(x{\tfrac{b-a}{ab}}\bigr)^{(a+b)}\n$$
Passo 5
Reconhecendo
, concluímos que
$$
x{\frac{(b-a)(b+a)}{ab}}=\bigl(\sqrt[ab]{x{(b-a)}}\bigr)^{(a+b)}\n$$
e assim a identidade está provada.
e assim a identidade está provada.