Seja
uma função diferenciável e
um vetor unitário que forma um ângulo
com o gradiente
. É bem conhecido que
. Marque a afirmação falsa.
Se
é um vetor unitário que forma
com o vetor
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado fala de derivada direcional e diz que, se o vetor unitário u forma 90° com o gradiente ∇f(x₀,y₀), então Dₙf(x₀,y₀)=0. Vamos ver o conteúdo: derivada direcional, produto escalar e relação com o cosseno do ângulo.
Passo 2
A derivada direcional de f na direção u é dada por D_{u}f(x₀,y₀)=∇f(x₀,y₀)·u. Esse produto escalar também pode ser escrito como |∇f(x₀,y₀)|·|u|·cos
θ, onde θ é o ângulo entre ∇f e u e |u|=1.
θ, onde θ é o ângulo entre ∇f e u e |u|=1.
Passo 3
Quando θ=90°, temos cos
θ=cos
90°=0. Portanto
D_{u}f(x₀,y₀)=|∇f(x₀,y₀)|·1·0=0.
θ=cos
90°=0. Portanto
D_{u}f(x₀,y₀)=|∇f(x₀,y₀)|·1·0=0.
Passo 4
Concluímos que a afirmação dada é verdadeira, logo não há nenhuma afirmação falsa entre as apresentadas.
Resposta
Não há afirmação falsa; a proposição apresentada é verdadeira.