Seja f=f(x, y) uma função diferenciável e u um vetor unitário que forma um ângulo theta com o gradiente nabla f(x0, y0). É bem conhecido que Du f(x0, y0)=|nabla f(x0, y0)| cos theta. Marque a afirmação falsa.
Se u é um vetor unitário que forma 90^circ com o vetor nabla f(x0, y0), então Du f(x0, y0)=0.

Passo 1

O enunciado fala de derivada direcional e diz que, se o vetor unitário u forma 90° com o gradiente ∇f(x₀,y₀), então Dₙf(x₀,y₀)=0. Vamos ver o conteúdo: derivada direcional, produto escalar e relação com o cosseno do ângulo.

Passo 2

A derivada direcional de f na direção u é dada por D_{u}f(x₀,y₀)=∇f(x₀,y₀)·u. Esse produto escalar também pode ser escrito como |∇f(x₀,y₀)|·|u|·cos
θ, onde θ é o ângulo entre ∇f e u e |u|=1.

Passo 3

Quando θ=90°, temos cos
θ=cos
90°=0. Portanto
D_{u}f(x₀,y₀)=|∇f(x₀,y₀)|·1·0=0.

Passo 4

Concluímos que a afirmação dada é verdadeira, logo não há nenhuma afirmação falsa entre as apresentadas.

Resposta

Não há afirmação falsa; a proposição apresentada é verdadeira.

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