Prove que todo primo ímpar é da forma 4 k+1 ou 4 k-1, onde k é um inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se p é primo ímpar, então existe inteiro positivo k tal que
ou p = 4k + 1 ou p = 4k - 1. Vamos usar o Teorema da Divisão (Algoritmo da Divisão) aplicando-o a p dividido por 4.

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão, existem únicos inteiros q e resto r tais que
p = 4q + r
com 0 <= r <= 3.

Passo 3

Como p é primo ímpar, temos p>2 e portanto p é congruente a 1 módulo 2. Note que 4q é sempre par, logo o resto r também deve ser ímpar. Assim
r in 1,3
Se r=1, então
p = 4q + 1
Se r=3, então
p = 4q + 3 = 4(q+1) - 1,
e basta escolher k = q+1 > 0 para escrever p = 4k - 1.

Resposta

Todo primo ímpar p é da forma 4k + 1 ou 4k - 1, com k inteiro positivo.

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