Determine:
\sqrt{-5+12 i};

Passo 1

Queremos encontrar todos os z = a + bi com a,b\in\mathbb{R} tais que
z^2 = -5 + 12i.
Para isso, vamos escrever (a+bi)^2, separar em parte real e imaginária e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Calculando
(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi
e igualando a -5+12i, obtemos o sistema
\begin{cases} a^2 - b^2 = -5,\\\\ 2ab = 12. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
ab = 6 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{6}{a}\quad(a\neq0).
Substituindo em a^2 - b^2 = -5
a^2 - \Bigl(\frac{6}{a}\Bigr)^2 = -5 \quad\Longrightarrow\quad a^4 + 5a^2 - 36 = 0.

Passo 4

Defina u = a^2. A equação fica
u^2 + 5u - 36 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
u = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2}.
Como u = a^2\ge0, só vale u = 4. Portanto
a = \pm 2.

Passo 5

Para cada valor de a achamos
b = \frac{6}{a},
resultando nos pares (a,b) = (2,3) e (a,b)=(-2,-3). Assim as duas raízes são
2 + 3i \quad\text{e}\quad -2 - 3i.

Resposta

\sqrt{-5+12i}=\pm\bigl(2+3i\bigr).
A raiz principal (com parte real não negativa) é 2+3i.

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