Determine:
\sqrt[3]{-i};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes cúbicas de -i. O conteúdo envolvido é a representação de números complexos em forma polar e o uso do Teorema de De Moivre para extrair raízes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos -i em forma polar. O módulo de -i é 1 e seu argumento principal é -\tfrac{\pi}{2}. Logo,
-\,i = e^{-\,i\pi/2}.
De modo mais geral, incluindo todas as voltas, podemos escrever
-\,i = e^{\,i\bigl(-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi m\bigr)}, \quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre, as raízes cúbicas são dadas por
z_k = \exp\!\Bigl(i\frac{-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2.

Passo 4

Agora calculamos cada valor:
Para k=0:
z_0 = \exp\!\bigl(i(-\tfrac{\pi}{6})\bigr) = \cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.
Para k=1:
z_1 = \exp\!\bigl(i(-\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi}{3})\bigr) = \exp\!\bigl(i\tfrac{\pi}{2}\bigr) = i.
Para k=2:
z_2 = \exp\!\bigl(i(-\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{4\pi}{3})\bigr) = \exp\!\bigl(i\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = \cos\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) + i\sin\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

Resposta

As três raízes cúbicas de -i são
\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2},\quad i,\quad -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

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