Exercício 9 Use a fórmula de De Moivre pra deduzir expressões para
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar fórmulas fechadas de
e
usando o teorema de De Moivre. Vamos usar que, para todo inteiro
,
e expandir o lado esquerdo com a fórmula binomial.
Passo 2
Aplique De Moivre para
:
Pelo binômio de Newton,
Passo 3
Calcule termo a termo e separe em parte real e imaginária:
k :
k :
k :
k :
k :
Somando, a parte real é
k
k
k
k
k
e a parte imaginária (coeficiente de
) é
Passo 4
Igualando ao lado direito de De Moivre, obtemos
Passo 5
Opcionalmente, podemos expressar
de maneira mais compacta usando
:
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