Exercício 9 Use a fórmula de De Moivre pra deduzir expressões para \cos 4 \theta e \operatorname{sen} 4 \theta.

Passo 1

O enunciado pede para achar fórmulas fechadas de \cos4\theta e \sen4\theta usando o teorema de De Moivre. Vamos usar que, para todo inteiro n,
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^n = \cos(n\theta) + i\,\operatorname{sen}(n\theta),
e expandir o lado esquerdo com a fórmula binomial.

Passo 2

Aplique De Moivre para n=4:
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^4 = \cos4\theta + i\,\sen4\theta.
Pelo binômio de Newton,
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (\cos\theta)^{4-k} (i\,\operatorname{sen}\theta)^k.

Passo 3

Calcule termo a termo e separe em parte real e imaginária:
k =0: \binom{4}{0}\cos^4\theta = \cos^4\theta
k =1: \binom{4}{1}\cos^3\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)= i\,4\cos^3\theta\,\operatorname{sen}\theta
k =2: \binom{4}{2}\cos^2\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)^2=6\cos^2\theta\,(i^2\operatorname{sen}^2\theta) =-6\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta
k =3: \binom{4}{3}\cos\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)^3=4\cos\theta\,(i^3\operatorname{sen}^3\theta) =-4\,i\cos\theta\,\operatorname{sen}^3\theta
k =4: (i\operatorname{sen}\theta)^4=i^4\operatorname{sen}^4\theta=\operatorname{sen}^4\theta Somando, a parte real é
\cos^4\theta -6\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta +\operatorname{sen}^4\theta,
e a parte imaginária (coeficiente de i) é
4\cos^3\theta\,\operatorname{sen}\theta -4\cos\theta\,\operatorname{sen}^3\theta.

Passo 4

Igualando ao lado direito de De Moivre, obtemos
\cos4\theta = \cos^4\theta -6\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta +\operatorname{sen}^4\theta,
\sen4\theta = 4\cos^3\theta\,\operatorname{sen}\theta -4\cos\theta\,\operatorname{sen}^3\theta.

Passo 5

Opcionalmente, podemos expressar \cos4\theta de maneira mais compacta usando \cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1:
\cos^4\theta+\operatorname{sen}^4\theta =(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta)^2-2\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta =1-2\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta,
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\cos4\theta =(1-2\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta)-6\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta =1-8\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta =1-2\operatorname{sen}^2 2\theta.

Resposta

\displaystyle \cos4\theta = \cos^4\theta -6\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta +\operatorname{sen}^4\theta, \displaystyle \sen4\theta = 4\cos^3\theta\,\operatorname{sen}\theta -4\cos\theta\,\operatorname{sen}^3\theta.

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