Determine: \sqrt{576}

Passo 1

O enunciado pede para determinar \sqrt{576}.
Informação dada: o número dentro da raiz é \,576.
Objetivo: encontrar o valor da raiz quadrada principal (isto é, o valor não negativo x tal que x^{2}=576).

Passo 2

O que é a raiz quadrada?
Por definição, para um número não negativo a, a raiz quadrada principal \sqrt{a} é o número não negativo x que satisfaz
x^{2}=a.
Logo, aqui buscamos x\ge0 tal que x^{2}=576.

Passo 3

Estratégias para calcular \sqrt{576}: reconhecer se 576 é um quadrado perfeito (ou seja, se existe um inteiro cujo quadrado é 576) ou fazer a fatoração em primos e usar propriedades de raízes. Vou fazer a fatoração em primos porque é sistemático e fácil de verificar.

Passo 4

Fatoração de \,576 em primos, dividindo por 2 até não ser mais divisível:
576 = 2\cdot288 = 2^{2}\cdot144 = 2^{3}\cdot72 = 2^{4}\cdot36 = 2^{5}\cdot18 = 2^{6}\cdot9.
Agora 9 é 3^{2}, portanto
576 = 2^{6}\cdot3^{2}.

Passo 5

Usando a propriedade da raiz \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b} e \sqrt{p^{2k}}=p^{k} para p>0, temos
\sqrt{576}=\sqrt{2^{6}\cdot3^{2}}=\sqrt{2^{6}}\cdot\sqrt{3^{2}}=2^{3}\cdot3.
Calculando os poderes:
2^{3}=8,\qquad 8\cdot3=24.
Portanto \sqrt{576}=24.

Passo 6

Verificação rápida: calcular 24^{2} para confirmar:
24^{2}=(20+4)^{2}=20^{2}+2\cdot20\cdot4+4^{2}=400+160+16=576.
Como 24^{2}=576, a raiz está correta.

Passo 7

Conclusão e dica prática: 576 é um quadrado perfeito (é 24^{2}). Memorizar quadrados até 25^{2} costuma ajudar muito em provas rápidas.

Resposta

24

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