Simplifique: \frac{x^{7} \cdot x^{-2}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{x^{7}\cdot x^{-2}}{x^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve potências de x com expoentes 7, -2 e 3.
  • É necessário simplificar usando as propriedades de potências.
  • Como aparece x^{-2}, é preciso lembrar que a expressão original exige x\neq0.

Passo 2

Relembrando as regras de potências que vamos usar (com explicações simples):
  • Regra do produto: quando se multiplicam potências de mesma base, somam-se os expoentes: x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b},onde a e b são quaisquer números reais (ou inteiros, aqui).
  • Regra do quociente: quando se divide potências de mesma base, subtrai-se o expoente do denominador do expoente do numerador: \frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b},válido para x\neq0.
  • Expoente negativo: x^{-a}=\dfrac{1}{x^{a}}. Isso explica por que precisamos de x\neq0.
Vou aplicar essas regras passo a passo; cada uso da fórmula será comentado.

Passo 3

Primeiro simplificamos o numerador usando a regra do produto:
x^{7}\cdot x^{-2}=x^{7+(-2)}=x^{5}.
Explicação: somou-se 7 com -2 para obter 5.

Passo 4

Substituindo o numerador simplificado na expressão original, obtemos
\frac{x^{5}}{x^{3}}.
Agora aplicamos a regra do quociente (subtrair expoentes):
\frac{x^{5}}{x^{3}}=x^{5-3}=x^{2}.

Passo 5

Observação sobre domínio: a expressão original contém x^{-2}, logo é exigido x\neq0. Portanto a simplificação x^{2} representa corretamente o valor da expressão para x\neq0. (Formalmente a expressão original não está definida em x=0.)

Passo 6

Outra forma alternativa (útil na prova): tratar o denominador como potência com expoente negativo e somar todos os expoentes:
\frac{x^{7}\cdot x^{-2}}{x^{3}}=x^{7}\cdot x^{-2}\cdot x^{-3}=x^{7+(-2)+(-3)}=x^{2}.
Mesma resposta, via outra rota — bom para conferir.

Resposta

x^{2}

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