Exercício 8 Prove que
se, e somente se,
é um número real.
Passo 1
O enunciado nos pede para provar que
se, e somente se,
é um número real.
O conteúdo principal é o cálculo de módulo de número complexo, onde vamos escrever em termos de sua parte real e imaginária e comparar os quadrados dos módulos.
O conteúdo principal é o cálculo de módulo de número complexo, onde vamos escrever
Passo 2
Seja
com
. Então
e
Passo 3
Para qualquer complexo
, vale
No nosso caso, em
temos parte real
e parte imaginária
. Logo,
Passo 4
De modo análogo, em
a parte real é
e a parte imaginária é
. Então
Passo 5
A condição
equivale a
isto é,
Cancelando
e expandindo, obtemos
Passo 6
Da igualdade
segue que
. Assim provamos que se
então
é real.
Passo 7
Recíprocamente, se
então
e
logo
. Isso completa a prova do “se, e somente se”.