Determine as alternativas verdadeiras:
Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 é constante, então q(t)=0 para todo t.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a afirmação “Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de $ y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 $ é constante, então $ q(t) = 0 $ para todo $ t $” é verdadeira. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e o conceito de Wronskiano. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano é dado por:
y1(t)
Ele nos dá informações sobre a independência linear das soluções $ y_1 $ e $ y_2 $.

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante do Wronskiano para equações diferenciais lineares de segunda ordem:
W' + p(t) W = 0
Onde $ W’ $ é a derivada do Wronskiano em relação a $ t $, e $ p(t) $ é o coeficiente da primeira derivada na equação diferencial.

Passo 4

A equação dada no exercício é $ y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 $. Se o Wronskiano $ W $ é constante, isso significa que $ W’ = 0 $.

Passo 5

Substituindo $ W’ = 0 $ na equação da propriedade, temos:
W' = 0
Como estamos considerando duas soluções lineares independentes, o Wronskiano $ W $ não é zero. Portanto, para a equação acima ser verdadeira, devemos ter $ p(t) = 0 $ para todo $ t $.

Passo 6

Com $ p(t) = 0 $, a equação diferencial original fica:
p(t) = 0
Agora, vamos verificar se o Wronskiano ser constante implica que $ q(t) = 0 $.

Passo 7

Reescrevendo a equação da propriedade com $ p(t) = 0 $:
p(t) = 0
Isso nos confirma que o Wronskiano é constante, mas não nos dá informações diretas sobre $ q(t) $.

Passo 8

Para que o Wronskiano seja constante, não há uma relação direta que imponha $ q(t) = 0 $. Na verdade, podemos ter diferentes funções $ q(t) $ que ainda mantêm o Wronskiano constante.

Passo 9

Portanto, a afirmação “se o Wronskiano é constante, então $ q(t) = 0 $” não é necessariamente verdadeira. O Wronskiano constante só nos força a ter $ p(t) = 0 $, mas não impõe que $ q(t) $ seja zero.

Resposta

A afirmação é falsa. Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer é constante, isso implica que $ p(t) = 0 $, mas não necessariamente que $ q(t) = 0 $ para todo $ t $.

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