Determine as alternativas verdadeiras:
Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de
é constante, então
para todo
.
Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a afirmação “Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de $ y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 $ é constante, então $ q(t) = 0 $ para todo $ t $” é verdadeira. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e o conceito de Wronskiano. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano é dado por:
Ele nos dá informações sobre a independência linear das soluções $ y_1 $ e $ y_2 $.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante do Wronskiano para equações diferenciais lineares de segunda ordem:
Onde $ W’ $ é a derivada do Wronskiano em relação a $ t $, e $ p(t) $ é o coeficiente da primeira derivada na equação diferencial.
Passo 4
A equação dada no exercício é $ y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 $. Se o Wronskiano $ W $ é constante, isso significa que $ W’ = 0 $.
Passo 5
Substituindo $ W’ = 0 $ na equação da propriedade, temos:
Como estamos considerando duas soluções lineares independentes, o Wronskiano $ W $ não é zero. Portanto, para a equação acima ser verdadeira, devemos ter $ p(t) = 0 $ para todo $ t $.
Passo 6
Com $ p(t) = 0 $, a equação diferencial original fica:
Agora, vamos verificar se o Wronskiano ser constante implica que $ q(t) = 0 $.
Passo 7
Reescrevendo a equação da propriedade com $ p(t) = 0 $:
Isso nos confirma que o Wronskiano é constante, mas não nos dá informações diretas sobre $ q(t) $.
Passo 8
Para que o Wronskiano seja constante, não há uma relação direta que imponha $ q(t) = 0 $. Na verdade, podemos ter diferentes funções $ q(t) $ que ainda mantêm o Wronskiano constante.
Passo 9
Portanto, a afirmação “se o Wronskiano é constante, então $ q(t) = 0 $” não é necessariamente verdadeira. O Wronskiano constante só nos força a ter $ p(t) = 0 $, mas não impõe que $ q(t) $ seja zero.
Resposta
A afirmação é falsa. Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer é constante, isso implica que $ p(t) = 0 $, mas não necessariamente que $ q(t) = 0 $ para todo $ t $.