Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}.
T=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y=2 z \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y=2z\}\subset\mathbb{R}^{3}.
A pergunta é: determinar se T é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a condição que caracteriza os vetores de T é a equação linear \;x+y=2z\; entre as coordenadas.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que é preciso checar para afirmar que um subconjunto S de \mathbb{R}^n é subespaço:
  1. S não é vazio (uma forma rápida é verificar se o vetor nulo (0,0,\dots,0) pertence a S).
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in S.
Vou usar exatamente essas três verificações, explicando cada passo devagarinho.

Passo 3

Verificação 1 — T contém o vetor nulo.
O vetor nulo em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação que define T:
0+0 = 0 \quad\text{e}\quad 2\cdot 0 = 0,
logo \;0+0=2\cdot 0\; é verdadeiro. Portanto (0,0,0)\in T. Assim T não é vazio. (Ter o vetor zero garante a condição básica de não vazio e é um bom começo.)

Passo 4

Verificação 2 — fechamento sob soma.
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in T \quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in T.
Pelo fato de u e v estarem em T, sabemos que
x_1+y_1=2z_1\quad\text{e}\quad x_2+y_2=2z_2.
Agora calcule a soma:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Verificamos se u+v satisfaz a condição que define T:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (x_1+y_1)+(x_2+y_2).
Usando as relações acima:
(x_1+y_1)+(x_2+y_2) = 2z_1 + 2z_2 = 2(z_1+z_2).
Portanto
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=2(z_1+z_2),
ou seja, u+v satisfaz a condição e portanto u+v\in T. Assim T é fechado sob soma.

Passo 5

Verificação 3 — fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja u=(x_1,y_1,z_1)\in T e c\in\mathbb{R}. Como u\in T temos x_1+y_1=2z_1. Considere
c\,u = (c x_1,\; c y_1,\; c z_1).
Verificamos a condição:
c x_1 + c y_1 = c(x_1+y_1) = c(2 z_1) = 2(c z_1).
Logo
c x_1 + c y_1 = 2(c z_1),
ou seja, c\,u também satisfaz a condição que define T. Portanto c\,u\in T e T é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão das verificações: como T contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, todas as condições para ser subespaço estão satisfeitas. Logo T é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Comentário adicional (útil para prova): outra maneira rápida de ver isso é notar que a função linear
L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\qquad L(x,y,z)=x+y-2z
é linear, e T é exatamente o núcleo de L:
T=\ker(L)=\{(x,y,z)\mid L(x,y,z)=0\}.
Sabemos que núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço, então isso também prova que T é subespaço.
Exemplo de parametrização (para fixar a ideia): podemos expressar x em função de y e z:
x=2z-y.
Logo um vetor genérico de T é
(2z-y,\; y,\; z)=y(-1,1,0)+z(2,0,1).
Isso mostra que T é gerado pelos vetores (-1,1,0) e (2,0,1), então T tem dimensão 2 (é um plano que passa pela origem). Isso às vezes ajuda a entender geometricamente por que é subespaço.

Resposta

Sim, T é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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