Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
A pergunta é: determinar se
é um subespaço de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a condição que caracteriza os vetores de é a equação linear
entre as coordenadas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a condição que caracteriza os vetores de
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que é preciso checar para afirmar que um subconjunto
de
é subespaço:
-
não é vazio (uma forma rápida é verificar se o vetor nulo pertence a ). -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Vou usar exatamente essas três verificações, explicando cada passo devagarinho.
Passo 3
Verificação 1 —
contém o vetor nulo.
O vetor nulo em é
. Substituindo na equação que define
:
O vetor nulo em
logo
é verdadeiro. Portanto
. Assim
não é vazio. (Ter o vetor zero garante a condição básica de não vazio e é um bom começo.)
Passo 4
Verificação 2 — fechamento sob soma.
Sejam
Sejam
Pelo fato de
e
estarem em
, sabemos que
Agora calcule a soma:
Verificamos se
satisfaz a condição que define
:
Usando as relações acima:
Portanto
ou seja,
satisfaz a condição e portanto
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 5
Verificação 3 — fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja e
. Como
temos
. Considere
Seja
Verificamos a condição:
Logo
ou seja,
também satisfaz a condição que define
. Portanto
e
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão das verificações: como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, todas as condições para ser subespaço estão satisfeitas. Logo
é um subespaço de
.
Comentário adicional (útil para prova): outra maneira rápida de ver isso é notar que a função linear
é linear, e
é exatamente o núcleo de
:
Sabemos que núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço, então isso também prova que
é subespaço.
Exemplo de parametrização (para fixar a ideia): podemos expressar
em função de
e
:
Logo um vetor genérico de
é
Isso mostra que
é gerado pelos vetores
e
, então
tem dimensão
(é um plano que passa pela origem). Isso às vezes ajuda a entender geometricamente por que é subespaço.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.