Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
- Elementos de
são vetores em que satisfazem as duas equações lineares , e . - Não há outras restrições além dessas duas equações.
O que precisamos responder:
- Determinar se
satisfaz as propriedades que definem um subespaço de .
Passo 2
Relembrando a definição (explicando devagar): um subconjunto
é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes ocorrem simultaneamente:
-
contém o vetor nulo (ou seja, ). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando por que estas condições bastam: elas garantem que qualquer combinação linear de vetores de
permanece em
, o que é a ideia central de subespaço linear.
Passo 3
Verificação da condição 1 (contém o vetor zero), passo a passo:
- Pegamos o vetor nulo
. - Calculamos
e para este vetor: - Como ambas as equações são satisfeitas,
.
Logo a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Verificação da condição 2 (fechamento por soma), com demonstração detalhada:
- Tome
e . Pelas hipóteses:
- Considere
. - Verificamos as duas condições para
:
- Assim
satisfaz as equações e portanto .
Logoé fechado sob soma.
Passo 5
Verificação da condição 3 (fechamento por multiplicação por escalar), com demonstração:
- Tome
e . - Como
e , considere . - Verificamos:
- Logo
para todo .
Portantoé fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Resumo das verificações: mostramos que
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Essas três propriedades implicam que
é um subespaço linear de
. (Vou também te mostrar uma forma útil de visualizar
, que ajuda na prova e no entendimento.)
Passo 7
Parametrização de
e obtenção de uma base (isso ajuda na intuição e para exercícios de prova):
- Das equações em
temos e . Podemos tomar e como parâmetros livres. - Então qualquer vetor de
pode ser escrito como - Escrevendo como combinação linear:
- Logo
- Verificamos que os dois vetores geradores são linearmente independentes: se
então olhando componente a componente obtemos pela primeira componente e pela segunda componente. Logo só a solução trivial, então são independentes. - Portanto esses dois vetores formam uma base de
e .
Resposta
Sim.
é subespaço de
. Uma base é
e
.