Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-t=0 e y+z=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x-t=0 \text{ e } y+z=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Informações dadas:
  • Elementos de S são vetores (x,y,z,t) em \mathbb{R}^4 que satisfazem as duas equações lineares \,x-t=0, e \,y+z=0.
  • Não há outras restrições além dessas duas equações.
O que precisamos responder:
  • Determinar se S satisfaz as propriedades que definem um subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Relembrando a definição (explicando devagar): um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes ocorrem simultaneamente:
  1. V contém o vetor nulo (ou seja, 0=(0,0,\dots,0)\in V).
  2. V é fechado sob soma: se u\in V e v\in V então u+v\in V.
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e c\in\mathbb{R} então c\,u\in V.
Explicando por que estas condições bastam: elas garantem que qualquer combinação linear de vetores de V permanece em V, o que é a ideia central de subespaço linear.

Passo 3

Verificação da condição 1 (contém o vetor zero), passo a passo:
  • Pegamos o vetor nulo (0,0,0,0).
  • Calculamos \,x-t e \,y+z para este vetor: 0-0=0\quad\text{e}\quad 0+0=0.
  • Como ambas as equações são satisfeitas, (0,0,0,0)\in S.
    Logo a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificação da condição 2 (fechamento por soma), com demonstração detalhada:
  • Tome u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S. Pelas hipóteses: x_1-t_1=0,\quad y_1+z_1=0,
x_2-t_2=0,\quad y_2+z_2=0.
  • Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2).
  • Verificamos as duas condições para u+v: (x_1+x_2)-(t_1+t_2)=(x_1-t_1)+(x_2-t_2)=0+0=0,
(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=(y_1+z_1)+(y_2+z_2)=0+0=0.
  • Assim u+v satisfaz as equações e portanto u+v\in S.
    Logo S é fechado sob soma.

Passo 5

Verificação da condição 3 (fechamento por multiplicação por escalar), com demonstração:
  • Tome u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S e c\in\mathbb{R}.
  • Como x_1-t_1=0 e y_1+z_1=0, considere c\,u=(c x_1,\;c y_1,\;c z_1,\;c t_1).
  • Verificamos: (c x_1)-(c t_1)=c(x_1-t_1)=c\cdot 0=0,
(c y_1)+(c z_1)=c(y_1+z_1)=c\cdot 0=0.
  • Logo c\,u\in S para todo c\in\mathbb{R}.
    Portanto S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Resumo das verificações: mostramos que
  • o vetor zero está em S,
  • S é fechado sob soma,
  • S é fechado sob multiplicação por escalar.
Essas três propriedades implicam que S é um subespaço linear de \mathbb{R}^4. (Vou também te mostrar uma forma útil de visualizar S, que ajuda na prova e no entendimento.)

Passo 7

Parametrização de S e obtenção de uma base (isso ajuda na intuição e para exercícios de prova):
  • Das equações em S temos x=t e y=-z. Podemos tomar s=t e r=z como parâmetros livres.
  • Então qualquer vetor de S pode ser escrito como (x,y,z,t)=(s,\,-r,\;r,\;s).
  • Escrevendo como combinação linear: (s,-r,r,s)=s(1,0,0,1)+r(0,-1,1,0).
  • Logo S=\operatorname{span}\{(1,0,0,1),\;(0,-1,1,0)\}.
  • Verificamos que os dois vetores geradores são linearmente independentes: se a(1,0,0,1)+b(0,-1,1,0)=(0,0,0,0),então olhando componente a componente obtemos a=0 pela primeira componente e b=0 pela segunda componente. Logo só a solução trivial, então são independentes.
  • Portanto esses dois vetores formam uma base de S e \dim S=2.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^4. Uma base é \{(1,0,0,1),(0,-1,1,0)\} e \dim S=2.

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