Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
.
ou
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.
Informações relevantes fornecidas:
Vou chamar temporariamente
e
de modo que
.
Também é uma informação útil notar que o vetor nulo
satisfaz
, logo pertence a
. Isso é só uma observação dos dados, sem resolver ainda.
Passo 2
O que significa ser subespaço (a “aula curta” do que precisamos usar):
- Um subconjunto
é subespaço linear se e somente se satisfa três propriedades (mas na prática basta verificar duas depois de ver que o zero está dentro): -
contém o vetor nulo . -
é fechado sob soma: para quaisquer , o vetor também está em . -
é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer e qualquer escalar , o vetor também está em .
-
Explicando de forma bem prática: se você pega dois vetores dentro do conjunto e soma, ou pega um vetor e multiplica por qualquer número real, o resultado tem que continuar no conjunto. Se alguma dessas falhar, não é subespaço. No exame é muito comum usar um contraexemplo simples para mostrar que a clausura (normalmente a da soma) falha.
Passo 3
Verificação inicial rápida (necessária, mas não suficiente):
O vetor nulo é . Ele satisfaz
, então
. Logo
não é vazio e contém o vetor nulo — ok, passa nesse teste, mas isso não garante que seja subespaço.
O vetor nulo é
Passo 4
Estratégia prática para decidir: como
é união de dois subconjuntos lineares
e
, lembramos que a união de subespaços só é subespaço no caso especial em que um está contido no outro. Aqui
e
não estão contidos um no outro (por exemplo, existem vetores em
com
, e existem vetores em
com
). Portanto é bastante provável que
não seja subespaço. Para formalizar isso num exame, o jeito mais direto é apresentar dois vetores em
cuja soma não pertença a
.
Passo 5
Construção dos vetores para o contraexemplo:
Escolho que não pertença a
. Um exemplo simples é
Escolho
Aqui
porque
. Verifico
, então
.
Escolho
que não pertença a
. Um exemplo simples é
Aqui
porque
. Verifico
, então
.
Como
e
, ambos
e
pertencem a
.
Passo 6
Somando os vetores e verificando a clausura:
Calcule a soma
Calcule a soma
Agora verifico as duas condições que definem
:
- Primeiro,
, logo . - Segundo,
, logo .
Portanto
e
, ou seja
Isso mostra que
não é fechado sob adição.
Passo 7
Conclusão: como
contém dois vetores
tais que
mas
, a propriedade de fechamento por soma falha. Assim
não é subespaço de
.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.