Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}.
U=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=0 ou y+z+t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o subconjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=0 \text{ ou } y+z+t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Informações relevantes fornecidas:
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=0\}\;\cup\;\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid y+z+t=0\}.
Vou chamar temporariamente
A=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=0\}
e
B=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid y+z+t=0\},
de modo que U=A\cup B.
Também é uma informação útil notar que o vetor nulo (0,0,0,0) satisfaz x=0, logo pertence a U. Isso é só uma observação dos dados, sem resolver ainda.

Passo 2

O que significa ser subespaço (a “aula curta” do que precisamos usar):
  • Um subconjunto S\subset\mathbb{R}^{n} é subespaço linear se e somente se satisfa três propriedades (mas na prática basta verificar duas depois de ver que o zero está dentro):
    1. S contém o vetor nulo (0,\dots,0).
    2. S é fechado sob soma: para quaisquer u,v\in S, o vetor u+v também está em S.
    3. S é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer u\in S e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, o vetor \lambda u também está em S.
Explicando de forma bem prática: se você pega dois vetores dentro do conjunto e soma, ou pega um vetor e multiplica por qualquer número real, o resultado tem que continuar no conjunto. Se alguma dessas falhar, não é subespaço. No exame é muito comum usar um contraexemplo simples para mostrar que a clausura (normalmente a da soma) falha.

Passo 3

Verificação inicial rápida (necessária, mas não suficiente):
O vetor nulo é (0,0,0,0). Ele satisfaz x=0, então (0,0,0,0)\in A\subset U. Logo U não é vazio e contém o vetor nulo — ok, passa nesse teste, mas isso não garante que seja subespaço.

Passo 4

Estratégia prática para decidir: como U é união de dois subconjuntos lineares A e B, lembramos que a união de subespaços só é subespaço no caso especial em que um está contido no outro. Aqui A e B não estão contidos um no outro (por exemplo, existem vetores em A com y+z+t\neq0, e existem vetores em B com x\neq0). Portanto é bastante provável que U=A\cup B não seja subespaço. Para formalizar isso num exame, o jeito mais direto é apresentar dois vetores em U cuja soma não pertença a U.

Passo 5

Construção dos vetores para o contraexemplo:
Escolho u\in A que não pertença a B. Um exemplo simples é
u=(0,1,0,0).
Aqui u\in A porque x=0. Verifico y+z+t=1+0+0=1\neq0, então u\notin B.
Escolho v\in B que não pertença a A. Um exemplo simples é
v=(1,1,-1,0).
Aqui v\in B porque y+z+t=1+(-1)+0=0. Verifico x=1\neq0, então v\notin A.
Como u\in A\subset U e v\in B\subset U, ambos u e v pertencem a U.

Passo 6

Somando os vetores e verificando a clausura:
Calcule a soma
u+v=(0,1,0,0)+(1,1,-1,0)=(1,2,-1,0).
Agora verifico as duas condições que definem U:
  • Primeiro, x=1\neq0, logo u+v\notin A.
  • Segundo, y+z+t=2+(-1)+0=1\neq0, logo u+v\notin B.
Portanto u+v\notin A e u+v\notin B, ou seja
u+v\notin A\cup B = U.
Isso mostra que U não é fechado sob adição.

Passo 7

Conclusão: como U contém dois vetores u,v tais que u,v\in U mas u+v\notin U, a propriedade de fechamento por soma falha. Assim U não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

Resposta

Não, U não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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