Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}.
V=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+z^{2}=0 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+z^{2}=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Informações dadas: a condição x^{2}+z^{2}=0 vale para vetores com coordenadas reais x,y,z. Não há outras restrições além dessa equação.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que significa ser subespaço. Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se, e somente se:
\text{(i)}\quad \mathbf{0}=(0,0,0)\in W,
\text{(ii)}\quad \text{para quaisquer }u,v\in W\text{ temos }u+v\in W,
\text{(iii)}\quad \text{para qualquer escalar }c\in\mathbb{R}\text{ e qualquer }u\in W\text{ temos }c u\in W.
Essas três propriedades garantem que W é fechado nas operações do espaço ambiente e contém o zero, logo é subespaço. Vou checar cada uma para V.

Passo 3

Primeiro simplificamos a descrição de V usando uma observação sobre quadrados de reais. Para qualquer número real a temos a^{2}\ge 0, e a^{2}=0 se, e somente se, a=0. Aplicando isso à condição de V:
x^{2}+z^{2}=0 \implies x^{2}=0\\ \text{e}\\ z^{2}=0 \implies x=0\\ \text{e}\\ z=0.
Portanto toda tupla em V tem necessariamente x=0 e z=0. Logo podemos reescrever V como
V=\{(0,y,0)\in\mathbb{R}^{3}\mid y\in\mathbb{R}\}.
Em palavras: V é exatamente a reta formada pelos vetores cuja única coordenada livre é y.

Passo 4

Verificamos a presença do vetor zero. Tomando y=0 na descrição acima obtemos
(0,0,0)\in V.
Assim a condição (i) está satisfeita.

Passo 5

Verificamos a fechadura pela soma. Tome dois vetores quaisquer em V:
u=(0,y_{1},0),\qquad v=(0,y_{2},0),
com y_{1},y_{2}\in\mathbb{R}. A soma é
u+v=(0,y_{1}+y_{2},0).
Esse vetor tem primeira e terceira coordenadas iguais a zero, logo satisfaz x^{2}+z^{2}=0 e portanto u+v\in V. Assim a condição (ii) está satisfeita.

Passo 6

Verificamos a fechadura por multiplicação escalar. Seja c\in\mathbb{R} e u=(0,y,0)\in V. Então
c\,u=(0,c\,y,0).
Novamente as coordenadas x e z são zero, logo c\,u\in V. Assim a condição (iii) está satisfeita.

Passo 7

Uma observação alternativa (útil na prova): da forma \{(0,y,0)\} vemos que
V=\{y(0,1,0)\mid y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Qualquer conjunto da forma \operatorname{span}\{v\} é subespaço (é a reta através da origem gerada por v). Isso reforça a conclusão anterior de forma conceitual.

Passo 8

Conclusão: V contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar; portanto é subespaço de \mathbb{R}^{3}. Intuitivamente, V é a reta do eixo y em \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. V=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}, que é um subespaço de \mathbb{R}^{3} (reta gerada por (0,1,0)).

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