Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
. Informações dadas: a condição
vale para vetores com coordenadas reais
. Não há outras restrições além dessa equação.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) o que significa ser subespaço. Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se:
Essas três propriedades garantem que
é fechado nas operações do espaço ambiente e contém o zero, logo é subespaço. Vou checar cada uma para
.
Passo 3
Primeiro simplificamos a descrição de
usando uma observação sobre quadrados de reais. Para qualquer número real
temos
, e
se, e somente se,
. Aplicando isso à condição de
:
Portanto toda tupla em
tem necessariamente
e
. Logo podemos reescrever
como
Em palavras:
é exatamente a reta formada pelos vetores cuja única coordenada livre é
.
Passo 4
Verificamos a presença do vetor zero. Tomando
na descrição acima obtemos
Assim a condição (i) está satisfeita.
Passo 5
Verificamos a fechadura pela soma. Tome dois vetores quaisquer em
:
com
. A soma é
Esse vetor tem primeira e terceira coordenadas iguais a zero, logo satisfaz
e portanto
. Assim a condição (ii) está satisfeita.
Passo 6
Verificamos a fechadura por multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Novamente as coordenadas
e
são zero, logo
. Assim a condição (iii) está satisfeita.
Passo 7
Uma observação alternativa (útil na prova): da forma
vemos que
Qualquer conjunto da forma
é subespaço (é a reta através da origem gerada por
). Isso reforça a conclusão anterior de forma conceitual.
Passo 8
Conclusão:
contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar; portanto é subespaço de
. Intuitivamente,
é a reta do eixo
em
.
Resposta
Sim.
, que é um subespaço de
(reta gerada por
).