Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
U=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid y-z=0 e x+t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid y-z=0 \text{ e } x+t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4\). As informações relevantes dadas são: \[\begin{cases} y-z=0,\\[4pt] x+t=0. \end{cases}
Ou seja, os vetores em (U] são exatamente aqueles cujas componentes satisfazem essas duas equações lineares homogêneas.]

Passo 2

Definição e critérios que vou usar (explicados devagarinho):
Um subconjunto W de \mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
  1. W não é vazio (uma maneira prática: mostrar que o vetor zero pertence a W).
  2. W é fechado para adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado para multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in W.
Por que essas propriedades? Porque um subespaço precisa conter combinações lineares de seus elementos; as duas últimas garantem isso (fechamento para soma e para escalares) e a primeira evita o caso vazio. Outra forma equivalente é: mostrar que W contém o vetor zero e é fechado para combinações lineares (mas aqui vou aplicar as três propriedades clássicas separadamente para ficar bem claro).

Passo 3

Verificando se o vetor zero pertence a U.
O vetor zero em \mathbb{R}^4 é (0,0,0,0). Substituo nas equações:
y-z = 0-0 = 0,\qquad x+t = 0+0 = 0.
Ambas as igualdades são verdadeiras, logo (0,0,0,0)\in U. Assim U não é vazio e passa no primeiro critério.

Passo 4

Verificando fechamento por adição (passo a passo).
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in U\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in U.
Pelo fato de u\in U e v\in U sabemos que
y_1-z_1=0,\qquad x_1+t_1=0,
y_2-z_2=0,\qquad x_2+t_2=0.
Calculo a soma
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2).
Agora verifico as duas condições para u+v:
Primeira condição:
(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=(y_1-z_1)+(y_2-z_2)=0+0=0.
Segunda condição:
(x_1+x_2)+(t_1+t_2)=(x_1+t_1)+(x_2+t_2)=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz as duas equações, logo u+v\in U. Concluímos que U é fechado para adição.

Passo 5

Verificando fechamento por multiplicação escalar (passo a passo).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in U, então por definição de U temos y-z=0 e x+t=0.
Multiplico u por c:
c\,u=(c x,\; c y,\; c z,\; c t).
Verifico as condições:
Primeira condição:
(cy)-(cz)=c(y-z)=c\cdot 0=0.
Segunda condição:
(cx)+(ct)=c(x+t)=c\cdot 0=0.
Logo c\,u\in U. Assim U é fechado para multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão do teste de subespaço.
Como U contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalares, segue que U é um subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 7

Uma explicação adicional útil para a prova: visualizando U como solução de um sistema linear homogêneo.
As equações que definem U são lineares e homogêneas; isso sempre sugere que o conjunto solução é um subespaço (porque soma de soluções e múltiplos escalares de soluções permanecem soluções). Vou mostrar isso parametrizando os vetores de U.
Das equações temos z=y e t=-x. Então um vetor genérico em U pode ser escrito como
(x,y,z,t)=(x,y,y,-x).
Agora escrevo isso como combinação linear de vetores com parâmetros x e y:
(x,y,y,-x)=x(1,0,0,-1)+y(0,1,1,0).

Passo 8

Base e dimensão (para prática na prova).
A expressão anterior mostra que todo vetor de U é combinação linear dos vetores
v_1=(1,0,0,-1)\qquad\text{e}\qquad v_2=(0,1,1,0).
Ou seja, U=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Mostro que v_1 e v_2 são linearmente independentes: suponha a v_1 + b v_2 = (0,0,0,0). Isso dá
a(1,0,0,-1)+b(0,1,1,0)=(a,\;b,\;b,\;-a)=(0,0,0,0).
Assim a=0 e b=0. Logo são independentes. Portanto \{v_1,v_2\} é uma base de U e
\dim U = 2.

Resposta

Sim, U é subespaço de \mathbb{R}^4.
Uma base é \{(1,0,0,-1),(0,1,1,0)\}.
\dim U=2.

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