Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
Ou seja, os vetores em (U] são exatamente aqueles cujas componentes satisfazem essas duas equações lineares homogêneas.]
Passo 2
Definição e critérios que vou usar (explicados devagarinho):
Um subconjunto de
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
Um subconjunto
-
não é vazio (uma maneira prática: mostrar que o vetor zero pertence a ). -
é fechado para adição: se e , então . -
é fechado para multiplicação escalar: se e , então .
Por que essas propriedades? Porque um subespaço precisa conter combinações lineares de seus elementos; as duas últimas garantem isso (fechamento para soma e para escalares) e a primeira evita o caso vazio. Outra forma equivalente é: mostrar que
contém o vetor zero e é fechado para combinações lineares (mas aqui vou aplicar as três propriedades clássicas separadamente para ficar bem claro).
Passo 3
Verificando se o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em
é
. Substituo nas equações:
Ambas as igualdades são verdadeiras, logo
. Assim
não é vazio e passa no primeiro critério.
Passo 4
Verificando fechamento por adição (passo a passo).
Sejam
Pelo fato de
e
sabemos que
Calculo a soma
Agora verifico as duas condições para
:
Primeira condição:
Primeira condição:
Segunda condição:
Portanto
satisfaz as duas equações, logo
. Concluímos que
é fechado para adição.
Passo 5
Verificando fechamento por multiplicação escalar (passo a passo).
Seja
e
, então por definição de
temos
e
.
Multiplico por
:
Multiplico
Verifico as condições:
Primeira condição:
Primeira condição:
Segunda condição:
Logo
. Assim
é fechado para multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão do teste de subespaço.
Como
contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalares, segue que
é um subespaço de
.
Passo 7
Uma explicação adicional útil para a prova: visualizando
como solução de um sistema linear homogêneo.
As equações que definem
são lineares e homogêneas; isso sempre sugere que o conjunto solução é um subespaço (porque soma de soluções e múltiplos escalares de soluções permanecem soluções). Vou mostrar isso parametrizando os vetores de
.
Das equações temos
e
. Então um vetor genérico em
pode ser escrito como
Agora escrevo isso como combinação linear de vetores com parâmetros
e
:
Passo 8
Base e dimensão (para prática na prova).
A expressão anterior mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
Ou seja,
.
Mostro que
e
são linearmente independentes: suponha
. Isso dá
Assim
e
. Logo são independentes. Portanto
é uma base de
e
Resposta
Sim,
é subespaço de
.
Uma base é .
.
Uma base é