Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(d)
em
.
(d)
Passo 1
Enunciado: temos o subconjunto
do espaço vetorial
(funções contínuas em
).
Pergunta: determinar se é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas: os três elementos da família são as funções ,
e a função constante
, todas definidas em
.
Pergunta: determinar se
Informações dadas: os três elementos da família são as funções
Passo 2
Definição (explicada com calma): uma família de funções
é linearmente independente se a única solução da igualdade
é
. Aqui
é a função zero, isto é, a função que vale zero para todo
. Se existir uma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produza a função zero para todo
, então a família é linearmente dependente.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso: precisamos investigar se existem escalares
(reais) tais que
e se a única solução possível é
ou se existe uma solução com algum coeficiente não nulo. Se encontrarmos qualquer tripla
não trivial que satisfaça a igualdade ponto a ponto, então
é linearmente dependente.
Passo 4
Lembrete trigonométrico fundamental (explicado): para todo
vale a identidade
Isto é uma igualdade de funções: para cada
a soma dos quadrados do seno e do cosseno é exatamente
. Portanto a função dada por
é identicamente nula em
.
Passo 5
Usando a identidade do passo anterior, formamos a combinação linear
Aqui os coeficientes são
,
,
. Eles não são todos zero (por exemplo
), e a combinação resulta na função zero para todo
. Assim encontramos explicitamente uma combinação linear não trivial que anula todos os pontos do intervalo.
Passo 6
Conclusão lógica: como existe uma combinação linear não trivial que produz a função zero, a família
é linearmente dependente em
.
Passo 7
Comentário didático rápido (para você aprender a reconhecer no exame): frequentemente, quando uma função do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras (aqui
), isso já prova dependência. Além disso, observe que quaisquer duas entre
são linearmente independentes (por exemplo,
e
são independentes porque
não é função constante), mas a família de três é dependente porque uma é combinação linear das outras duas.
Resposta
Linearmente dependente.