Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(d) \mathbf{S}=\left\{\operatorname{sen}^{2} \mathbf{x}, \cos ^{2} \mathbf{x}, \mathbf{1}\right\} em \mathbf{C}[\mathbf{0}, \boldsymbol{\pi}].

Passo 1

Enunciado: temos o subconjunto S=\{\sin^{2}x,\\ \cos^{2}x,\\\ 1\} do espaço vetorial \mathcal{C}[0,\pi] (funções contínuas em [0,\pi]).
Pergunta: determinar se S é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas: os três elementos da família são as funções \sin^{2}x, \cos^{2}x e a função constante 1, todas definidas em [0,\pi].

Passo 2

Definição (explicada com calma): uma família de funções \{f_1,f_2,\dots,f_n\}\subset\mathcal{C}[0,\pi] é linearmente independente se a única solução da igualdade
a_1 f_1(x)+a_2 f_2(x)+\cdots+a_n f_n(x)=0\quad\text{para todo }x\in[0,\pi]
é a_1=a_2=\cdots=a_n=0. Aqui 0 é a função zero, isto é, a função que vale zero para todo x. Se existir uma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produza a função zero para todo x, então a família é linearmente dependente.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: precisamos investigar se existem escalares a,b,c (reais) tais que
a\sin^{2}x + b\cos^{2}x + c\cdot 1 = 0\quad\text{para todo }x\in[0,\pi],
e se a única solução possível é a=b=c=0 ou se existe uma solução com algum coeficiente não nulo. Se encontrarmos qualquer tripla (a,b,c) não trivial que satisfaça a igualdade ponto a ponto, então S é linearmente dependente.

Passo 4

Lembrete trigonométrico fundamental (explicado): para todo x vale a identidade
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Isto é uma igualdade de funções: para cada x a soma dos quadrados do seno e do cosseno é exatamente 1. Portanto a função dada por x\mapsto\sin^{2}x+\cos^{2}x-1 é identicamente nula em [0,\pi].

Passo 5

Usando a identidade do passo anterior, formamos a combinação linear
1\cdot\sin^{2}x + 1\cdot\cos^{2}x + (-1)\cdot 1 = 0\quad\text{para todo }x\in[0,\pi].
Aqui os coeficientes são a=1, b=1, c=-1. Eles não são todos zero (por exemplo a=1\neq0), e a combinação resulta na função zero para todo x. Assim encontramos explicitamente uma combinação linear não trivial que anula todos os pontos do intervalo.

Passo 6

Conclusão lógica: como existe uma combinação linear não trivial que produz a função zero, a família S=\{\sin^{2}x,\cos^{2}x,1\} é linearmente dependente em \mathcal{C}[0,\pi].

Passo 7

Comentário didático rápido (para você aprender a reconhecer no exame): frequentemente, quando uma função do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras (aqui 1=\sin^{2}x+\cos^{2}x), isso já prova dependência. Além disso, observe que quaisquer duas entre \sin^{2}x,\cos^{2}x,1 são linearmente independentes (por exemplo, \sin^{2}x e 1 são independentes porque \sin^{2}x não é função constante), mas a família de três é dependente porque uma é combinação linear das outras duas.

Resposta

Linearmente dependente.

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