Determine se o subconjunto dado é LI no espaço vetorial dado:
(a) S=\left\{2 x^{3}-x+3,-4 x^{3}+2 x-3\right\} em P_{3}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto S=\{\,2x^{3}-x+3,\,-4x^{3}+2x-3\,\} é linearmente independente (LI) no espaço vetorial P_{3} (polinômios de grau menor ou igual a 3). Informações dadas:
O que significa “linearmente independente” aqui? Vou explicar devagarinho. Um conjunto \{v_1,v_2,\dots\} de vetores (aqui, polinômios) é linearmente independente se a única solução do sistema de escalares que satisfaz
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots = 0
for \alpha_1=\alpha_2=\cdots=0. No nosso caso com dois vetores, precisamos ver se a única solução de
a\,v_1 + b\,v_2 = 0
é a=b=0. Uma observação prática rápida: para dois vetores, se um for múltiplo escalar estrito do outro então são dependentes; se não for múltiplo, muitas vezes (mas não sempre) são independentes — em P_3 com dois vetores isso basta: se não há escalar k tal que v_2=k v_1, então eles são LI. Vou fazer ambas as coisas: um cheque rápido de múltiplo e, em seguida, a verificação completa por combinação linear.
Passo 3
Cheque rápido: será que v_2 é um múltiplo escalar de v_1? Calculo -2v_1:
-2v_1 = -2(2x^{3}-x+3) = -4x^{3}+2x-6.
Comparando com v_2=-4x^{3}+2x-3, percebo que os coeficientes de x^{3} e de x coincidem, mas o termo constante é diferente (-6 versus -3). Logo não existe escalar k tal que v_2 = k v_1. Isso é um bom indício de independência, mas vamos fazer o procedimento padrão (igualar combinação linear a zero e resolver) para ser rigoroso.
Passo 4
Escrevemos a combinação linear geral igual a zero:
a(2x^{3}-x+3) + b(-4x^{3}+2x-3) = 0,
onde 0 aqui é o polinômio zero (todos os coeficientes nulos). Vou expandir a expressão e agrupar os coeficientes de cada monômio.
Expliquei cada termo: o coeficiente de x^{3} vem de 2a e de -4b que já agrupei em 2a-4b (escrevo em forma simplificada abaixo); coeficiente de x^{2} é 0 porque ambos os polinômios não têm termo em x^{2}; coeficiente de x é -a+2b; termo constante é 3a-3b.
Passo 6
Como o polinômio resultante deve ser o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema de equações:
A segunda linha 0=0 não dá informação; as demais são as que importam.]
Passo 7
Vou simplificar e resolver as equações não-triviais. Da primeira equação:
2a - 4b = 0 \quad\Rightarrow\quad a - 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 2b.
Da terceira equação:
-a + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad -a = -2b \quad\Rightarrow\quad a = 2b,
que é a mesma relação, portanto consistente até aqui. Da quarta equação:
3a - 3b = 0 \quad\Rightarrow\quad a - b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = b.
Passo 8
Agora reúno as relações obtidas: de duas equações obti a = 2b e de outra a = b. Igualando,
a = 2b \quad\text{e}\quad a = b \quad\Rightarrow\quad b = 0.
Se b=0, então a=2b=0. Assim a única solução é a=b=0.
Passo 9
Concluo: a única combinação linear que produz o polinômio zero é a combinação trivial. Portanto os vetores (polinômios) são linearmente independentes. Linguagem amiga: deu trabalho, mas o sistema só aceita a solução em que ambos os coeficientes são zero — sinal de independência.