Seja W o subespaço de M_{3 \times 2} gerado pelas matrizes \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], [ \left.\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]], [ \left.\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]].
A matriz \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] pertence a W ?

Passo 1

O enunciado dá que W é o subespaço de M_{3\times2} gerado por três matrizes (vou nomeá‑las para ficar mais claro):
M_1=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\qquad M_2=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right],\qquad M_3=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right].
A pergunta é: a matriz
T=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right]
pertence a W?]

Passo 2

O que significa dizer que T pertence a W? Significa que existe uma combinação linear das matrizes geradoras que dê T. Em outras palavras, precisamos encontrar escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
aM_1 + bM_2 + cM_3 = T.
Se acharmos tais a,b,c, então T\in W; se não existir solução, então T\notin W.

Passo 3

Escrevo a combinação linear com incógnitas a,b,c:
a\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] + b\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right].
Agora vou somar as matrizes à esquerda componente a componente para obter equações.]

Passo 4

Comparando entradas correspondentes (linha por linha, coluna por coluna) obtemos o sistema de equações:
  • entrada (1,1): 0 = 0 (sempre verdadeira),
  • entrada (1,2): 0\cdot a + 1\cdot b + 1\cdot c = 1, ou seja b + c = 1,
  • entrada (2,1): 0 = 0 (sempre verdadeira),
  • entrada (2,2): 1\cdot a + (-1)\cdot b + 0\cdot c = 0, ou seja a - b = 0,
  • entrada (3,1): 0\cdot a + 1\cdot b + 0\cdot c = 0, ou seja b = 0,
  • entrada (3,2): 0 = 0 (sempre verdadeira).
Portanto o sistema reduz-se a
\begin{cases} b + c = 1,\\[4pt] a - b = 0,\\[4pt] b = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema passo a passo:
  • Da terceira equação temos b=0.
  • Substituindo em a-b=0 vem a-0=0, logo a=0.
  • Substituindo b=0 em b+c=1 vem 0+c=1, logo c=1.
As incógnitas são a=0, b=0 e c=1. Verifico que não há contradição nas outras entradas triviais. Assim existe solução.

Passo 6

Como encontramos a,b,c que satisfazem a igualdade, concluímos que T é combinação linear dos geradores. Explicitamente,
T = 0\cdot M_1 + 0\cdot M_2 + 1\cdot M_3.
Observação rápida e prática: daqui já se nota que T é exatamente igual a M_3, então imediatamente T\in W (não precisava resolver um sistema longo nesse caso).

Resposta

Sim. \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] = 0\cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] + 0\cdot\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right] + 1\cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right].]

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