Determine se os subconjuntos do R^2 abaixo são ou não são gráficos de alguma função:
(x, y) in R^2 ; 4 x^2+4 x y+y=5,

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y)in R^2 mid 4x^2 + 4xy + y = 5
é o gráfico de alguma função. Isto envolve usar o “teste da reta vertical”: para cada x deve haver no máximo um y tal que (x,y)in S. Para isso, vamos tentar isolar y em função de x.

Passo 2

Partimos da equação
4x^2 + 4x,y + y = 5
Agrupando os termos em y obtemos
4x^2 + y,(4x+1) = 5
Desde que 4x+1neq0, podemos dividir por 4x+1 e encontrar
y = 5 - 4x^24x + 1

Passo 3

Verificamos o que acontece quando 4x+1=0, ou seja, em x=-tfrac14. Substituindo em 4x^2 + 4x,y + y = 5
4l(-tfrac14r)^2 + 4l(-tfrac14r)y + y = tfrac14 - y + y = tfrac14 neq 5,
logo não há ponto de S com x=-tfrac14. Portanto o domínio natural de y em função de x é
D = R setminus -tfrac14,
e para cada xin D existe um único y dado pela fórmula acima.

Passo 4

Concluímos que S passa no teste da reta vertical (para cada xneq -tfrac14 há exatamente um y, e para x=-tfrac14 não há pontos), portanto S é de fato o gráfico da função
fcolon Rsetminus-tfrac14;longrightarrow; R, f(x) = 5 - 4x^24x + 1

Resposta

O conjunto é gráfico da função
y = f(x) = 5 - 4x^24x + 1, xneq -tfrac14

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