Exercício 13. (Apostol seção 4.8 exercícios 12) Seja
uma matriz
. Prove que
, ou seja, o termo que multiplica
é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz
, o polinômio característico
tem a forma
ou seja, que o coeficiente de
é
. Vamos usar a expressão de
como soma sobre permutações para isolar esse coeficiente.
Passo 2
Pela definição de determinante via permutações,
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 3
Para obter o termo em
dentro de cada produto
, precisamos escolher exatamente
fatores iguais a
e um fator igual a
. Isso significa que em apenas um índice
pegamos o termo
, e nos outros
índices pegamos
.
Passo 4
Se
, então existe pelo menos um par
com
e outro par distinto, o que força a escolher pelo menos dois fatores de forma
(pois
). Isso gera grau em
no máximo
. Logo, nenhuma permutação não-identidade contribui para o grau
.
Passo 5
Na permutação identidade
, todos os
e
Ao expandir esse produto, o termo de grau
aparece ao escolher exatamente um dos fatores “
” e
nos demais. Somando sobre
, a contribuição é
Resposta
O coeficiente de
em
é
.