Exercício 13. (Apostol seção 4.8 exercícios 12) Seja A uma matriz n times n. Prove que pA(lambda)=det(lambda I-A)= lambda^n-tr(A) lambda^n-1+ldots, ou seja, o termo que multiplica lambda^n-1 é igual a -tr(A).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz ntimes n A, o polinômio característico
pA(lambda)=det(lambda I - A)
tem a forma
pA(lambda)=lambda^n - l(tr(A)r),lambda^n-1 + cdots,
ou seja, que o coeficiente de lambda^n-1 é -tr(A). Vamos usar a expressão de det(lambda I - A) como soma sobre permutações para isolar esse coeficiente.

Passo 2

Pela definição de determinante via permutações,
onde é o delta de Kronecker.

Passo 3

Para obter o termo em lambda^n-1 dentro de cada produto
prodi=1^n(lambda,de<ai,sigma(i)-ai,sigma(i)), precisamos escolher exatamente n-1 fatores iguais a lambda e um fator igual a -ai,sigma(i). Isso significa que em apenas um índice i pegamos o termo -ai,sigma(i), e nos outros n-1 índices pegamos lambda,de<aj,sigma(j).

Passo 4

Se sigma neq id, então existe pelo menos um par (i,sigma(i)) com sigma(i) neq i e outro par distinto, o que força a escolher pelo menos dois fatores de forma -ak,sigma(k) (pois de<ak,sigma(k)=0). Isso gera grau em lambda no máximo n-2. Logo, nenhuma permutação não-identidade contribui para o grau n-1.

Passo 5

Na permutação identidade sigma=id, todos os de<ai,sigma(i)=1 e
prodi=1^nl(lambda - ai,ir) =(lambda - a1,1)(lambda - a2,2)cdots(lambda - an,n)
Ao expandir esse produto, o termo de grau lambda^n-1 aparece ao escolher exatamente um dos fatores “ -ai,i” e lambda nos demais. Somando sobre i, a contribuição é
sumi=1^nl(-ai,ir),lambda^n-1 =-l(sumi=1^nai,ir)lambda^n-1 =-tr(A),lambda^n-1

Resposta

O coeficiente de lambda^n-1 em pA(lambda)=det(lambda I-A) é -tr(A).

Exercícios relacionados