Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
O conteúdo principal é resolver a parte homogênea pelo polinômio característico e depois aplicar o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD) para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea, consideramos o polinômio
que tem raízes e . Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea, o termo corresponde a (raiz simples), então propomos . O termo corresponde a (raiz simples), então propomos . Para (raízes ), propomos . Assim
Passo 4
Calculamos
Isso deve igualar
Comparando coeficientes, obtemos o sistema
Daí . Das duas últimas, e , logo e .
Passo 5
A solução particular fica
yp(x) = -,x e^x ;-; 2,x e^2x ;+;tfrac310cos x ;+;tfrac110sen x
Portanto a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x ;-; x e^x ;-; 2,x e^2x ;+;310cos x ;+;110sen x
Resposta
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x ;-; x e^x ;-; 2,x e^2x ;+;310cos x ;+;110sen x