Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^x-2 e^2 x+sen x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 3y' + 2y = e^x - 2e^2x + sen x
O conteúdo principal é resolver a parte homogênea pelo polinômio característico e depois aplicar o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD) para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, consideramos o polinômio
r^2 - 3r + 2 = 0
que tem raízes r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Para a parte não homogênea, o termo e^x corresponde a r=1 (raiz simples), então propomos A x e^x. O termo -2e^2x corresponde a r=2 (raiz simples), então propomos B x e^2x. Para sen x (raízes pm i), propomos Ccos x + Dsen x. Assim
yp(x) = A x e^x + B x e^2x + Ccos x + Dsen x

Passo 4

Calculamos
Isso deve igualar
Comparando coeficientes, obtemos o sistema
Daí . Das duas últimas, e , logo e .

Passo 5

A solução particular fica
yp(x) = -,x e^x ;-; 2,x e^2x ;+;tfrac310cos x ;+;tfrac110sen x
Portanto a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x ;-; x e^x ;-; 2,x e^2x ;+;310cos x ;+;110sen x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x ;-; x e^x ;-; 2,x e^2x ;+;310cos x ;+;110sen x

Exercícios relacionados