Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}:
T=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+\cos z=1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y+\cos z=1\right\}
e pede para determinar se T é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Elementos de T são triplos (x,y,z) que satisfazem a equação x+y+\cos z=1.
  • A função \cos z é o cosseno usual de um real z.
  • A pergunta é simplesmente “ T é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}?” (responder sim ou não, com justificativa).

Passo 2

Definição e o que preciso verificar (explicação didática):
Um subconjunto S\subset\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se, e somente se, as três propriedades a seguir valem:
  1. S é não‑vazio (equivalente verificar que o vetor zero 0=(0,0,0) pertence a S);
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S.
Por que essas condições? Porque um subespaço precisa conter o vetor zero e ser fechado para formar combinações lineares sem sair do conjunto. Na prova, basta encontrar uma propriedade que falha (contraexemplo) para concluir que NÃO é subespaço.

Passo 3

Verificar se o vetor zero está em T:
Calcular a condição para (0,0,0):
0+0+\cos 0 = \cos 0 = 1,
logo (0,0,0)\in T. Portanto T não é vazio e passa no primeiro teste.

Passo 4

Estratégia para testar fechamento por escalares (maneira prática):
  • Vou procurar um vetor v\in T e um escalar \lambda tal que \lambda v\notin T.
  • Se encontrar tal par, já basta para concluir que T não é subespaço.

Passo 5

Escolher um vetor em T:
Escolho z=\pi. Como \cos\pi=-1, a equação x+y+\cos z=1 fica x+y-1=1, isto é x+y=2.
Uma escolha simples é
v=(2,0,\pi).
Verifico que v\in T:
2+0+\cos\pi = 2+(-1)=1,
portanto v satisfaz a condição e está em T.

Passo 6

Aplicar um escalar e testar:
Escolho o escalar \lambda=2. Então
2v = (4,0,2\pi).
Verifico se 2v\in T calculando a expressão:
4+0+\cos(2\pi) = 4 + 1 = 5 \neq 1.
Portanto 2v\notin T. Isso mostra que T não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 7

Conclusão lógica:
Como existe v\in T e um escalar \lambda tal que \lambda v\notin T, a propriedade de fechamento por escalares falha. Logo T não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Não. T não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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