Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
:
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pede para determinar se
é um subespaço de
.
Informações relevantes do enunciado:
- Elementos de
são triplos que satisfazem a equação . - A função
é o cosseno usual de um real . - A pergunta é simplesmente “
é um subespaço vetorial de ?” (responder sim ou não, com justificativa).
Passo 2
Definição e o que preciso verificar (explicação didática):
Um subconjunto é subespaço vetorial se, e somente se, as três propriedades a seguir valem:
Um subconjunto
-
é não‑vazio (equivalente verificar que o vetor zero pertence a ); -
é fechado sob adição: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Por que essas condições? Porque um subespaço precisa conter o vetor zero e ser fechado para formar combinações lineares sem sair do conjunto. Na prova, basta encontrar uma propriedade que falha (contraexemplo) para concluir que NÃO é subespaço.
Passo 3
Verificar se o vetor zero está em
:
Calcular a condição para :
Calcular a condição para
logo
. Portanto
não é vazio e passa no primeiro teste.
Passo 4
Estratégia para testar fechamento por escalares (maneira prática):
- Vou procurar um vetor
e um escalar tal que . - Se encontrar tal par, já basta para concluir que
não é subespaço.
Passo 5
Escolher um vetor em
:
Escolho . Como
, a equação
fica
, isto é
.
Uma escolha simples é
Escolho
Uma escolha simples é
Verifico que
:
portanto
satisfaz a condição e está em
.
Passo 6
Aplicar um escalar e testar:
Escolho o escalar . Então
Escolho o escalar
Verifico se
calculando a expressão:
Portanto
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Conclusão lógica:
Como existe e um escalar
tal que
, a propriedade de fechamento por escalares falha. Logo
não é subespaço de
.
Como existe
Resposta
Não.
não é subespaço de
.