Seja
e
a) mostre que
e
são subespaços de
b) Calcule
e
c) Calcule
a) mostre que
b) Calcule
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá dois subconjuntos de
(o espaço vetorial das funções polinomiais em
de grau no máximo 2)):
-
. -
, onde é um número fixo real (o enunciado não especificou se ou não).
O que o exercício pede:
a) Mostrar que e
são subespaços de
.
b) Calcular e
.
c) Calcular .
a) Mostrar que
b) Calcular
c) Calcular
Informações úteis dadas (escrevendo um polinômio genérico de
):
As condições ficam, em termos dos coeficientes:
Passo 2
Mostrar que
é subespaço: passo a passo da definição de subespaço linear.
Definição: um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço se (i)
, (ii)
é fechado por soma, e (iii)
é fechado por multiplicação escalar.
Definição: um subconjunto
Verificações para
:
- Não-vazio: o polinômio nulo
pertence a porque . Logo . - Fechamento por soma: sejam
. Então e . Para tem-se . Logo . - Fechamento por escalares: seja
e . Então . Logo .
Conclusão:
satisfaz as três condições e portanto é subespaço de
.
Passo 3
Encontrar uma base de
e calcular
.
Como vimos,
tem
, então um polinômio geral de
é
Isto mostra que todo elemento de
é combinação linear de
e
. Verificamos que
é linearmente independente: se
como polinômio, então os coeficientes de
e
são zero, logo
. Portanto
é base de
.
Logo
Passo 4
Analisar
: condição para ser subespaço e prova rigorosa.
Considere a aplicação avaliação em
,
Essa aplicação é linear (porque
e
). O conjunto
é o conjunto de polinômios cuja imagem por
é o número fixo
; ou seja,
.
Observação crucial: para que
seja um subespaço linear é necessário que o polinômio nulo pertença a
. Mas
o polinômio nulo tem
. Portanto se
o polinômio nulo não pertence a
e
não é subespaço. Assim:
-
é subespaço se, e somente se, . - Se
, é uma translação (um subespaço afim) de um subespaço linear, mas não é subespaço linear.
Demonstração curta do fato: suponha
. Tome
. Então
. Para
temos
, que só é igual a
para todo
se
. Logo falta fechamento por escalares quando
.
Passo 5
Calcular
no caso
(quando
é realmente subespaço). Encontrar uma base.
Se
, a condição é
, ou seja
. Escrevendo
,
Assim todo polinômio em
é combinação linear de
e
. Verifica-se que
é linearmente independente (coeficientes de
forçam zeros), portanto é base de
. Logo, quando
,
Se
, como já dito,
não é subespaço linear, portanto
no sentido de dimensão de subespaço linear não se aplica. (Como conjunto afim, a “dimensão afim” de
é
— isto é,
é uma reta paralela ao subespaço anteriormente descrito? Na verdade é um plano afim de dimensão
dentro do espaço de dimensão
.)
Passo 6
Calcular
. Primeiro expressar membros de
e impor condição de
.
Elementos de
têm forma
. Impondo
obtemos
Isto é uma equação linear em
. As soluções
formam um conjunto de parâmetros com uma restrição linear; portanto tem um grau de liberdade: é uma família unidimensional.
Casos:
- Se
(também tornando subespaço), então , ou . Assim
Portanto
é o subespaço gerado por
, que é 1‑dimensional. Logo, quando
,
- Se
, o conjunto é . Esse conjunto é uma reta afim (não passa pela origem) no espaço dos pares ; geometricamente tem dimensão afim . Como não é subespaço linear, falar em no sentido de dimensão de subespaço linear formal só faz sentido se aceitarmos a dimensão afim, que é . Note que, apesar de não ser subespaço quando , a interseção com nunca é vazia e tem um parâmetro livre, logo “uma dimensão” (afim) sempre.
Passo 7
Recapitulando de forma direta e útil para a prova (método prático que se aplica na hora):
- Para verificar se um conjunto definido por uma condição do tipo
é subespaço, lembre-se: a avaliação é uma forma linear; o pré‑imagem de é subespaço (o núcleo), o pré‑imagem de com é, em geral, apenas um conjunto afim e não um subespaço. - Para encontrar bases e dimensões, escreva o polinômio genérico
, traduza a restrição em equações lineares entre , resolva as equações para eliminar incógnitas e observe as combinações lineares restantes para exibir uma base.
Resposta
(a)
é subespaço de
.
é subespaço de
se, e somente se,
.
(b) . Se
então
; se
então
não é subespaço (como conjunto afim tem dimensão afim
).
(c) Se então
. Se
então
é uma reta afim (não-linear) e tem dimensão afim
.
(b)
(c) Se