Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}:
V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto V definido por
V=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\right\}\subset\mathbb{R}^{3}.
Notei uma inconsistência: o vetor é escrito como (x,y,z,t) (quatro coordenadas) mas o conjunto é descrito como pertencente a \mathbb{R}^{3} (três coordenadas) e a equação envolve apenas x,y,z. Vou assumir que a intenção correta é
V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\right\}\subset\mathbb{R}^{3}.
As perguntas que o enunciado faz (implicitamente) são: este subconjunto V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}? Quais propriedades devemos verificar?

Passo 2

Lembrete didático: para que um subconjunto W\subset\mathbb{R}^{n} seja subespaço vetorial, basta (e é equivalente a) verificar três propriedades simples:
  1. W contém o vetor zero (não é vazio): \mathbf{0}\in W.
  2. Fechado sob soma: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\mathbf{u}\in W.
Vou checar essas propriedades uma a uma para V. Explico cada passo com calma para você conseguir usar na prova.

Passo 3

Verificar se o vetor zero pertence a V.
O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é \mathbf{0}=(0,0,0). Substituindo na equação definidora:
0^{2}+0^{2}-0^{2}=0.
Como a igualdade é satisfeita, \mathbf{0}\in V. Então a primeira condição está ok.

Passo 4

Verificar fechamento por multiplicação escalar (caso geral, com demonstração algébrica).
Seja \mathbf{v}=(x,y,z)\in V. Isso significa que
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0.
Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R}. O vetor escalado é c\mathbf{v}=(cx,cy,cz). Substituindo na equação:
(cx)^{2}+(cy)^{2}-(cz)^{2}=c^{2}(x^{2}+y^{2}-z^{2})=c^{2}\cdot 0=0.
Portanto c\mathbf{v}\in V para todo c. Conclusão: V é fechado por multiplicação escalar.
Comentário didático: isso funciona porque a equação é homogênea de grau 2 — ao multiplicar por c surge um fator c^{2} que preserva a igualdade zero. Por isso a condição de homogeneidade em relação ao grau é importante para escalares.

Passo 5

Verificar fechamento por soma — procurar contraexemplo concreto.
Fechamento por soma exige que para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in V seja \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V. Em geral, se \mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf{v}=(x_{2},y_{2},z_{2}) então
(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}-(z_{1}+z_{2})^{2}
não simplifica em geral para x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-z_{1}^{2} mais x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-z_{2}^{2} porque aparecem termos mistos 2x_{1}x_{2},2y_{1}y_{2},-2z_{1}z_{2}. Logo não é óbvio que a soma permaneça em V. Para decidir, é suficiente achar um contraexemplo (dois vetores em V cuja soma não esteja em V).
Escolho vetores simples (intuitivamente, vetores com componentes inteiras) e verifico:
  • Tome \mathbf{u}=(1,0,1). Calculando:
1^{2}+0^{2}-1^{2}=1+0-1=0,
logo \mathbf{u}\in V.
  • Tome \mathbf{v}=(0,1,1). Calculando:
0^{2}+1^{2}-1^{2}=0+1-1=0,
logo \mathbf{v}\in V.
Agora a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,2). Verifico se está em V:
1^{2}+1^{2}-2^{2}=1+1-4=-2\neq 0.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin V. Achamos um contraexemplo: dois vetores em V cuja soma não pertence a V.

Passo 6

Conclusão lógica final.
Como V falha na propriedade de fechamento por soma (apesar de conter o zero e ser fechado por multiplicação escalar), V não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
Comentário didático final: geometricamente, a equação x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 define uma superfície (duas cones duplos) que não é fechada sob soma de vetores. Em geral, conjuntos definidos por equações quadráticas raramente são subespaços lineares — para obter um subespaço, a equação definidora deve ser linear homogênea (por exemplo ax+by+cz=0).

Resposta

Não. V não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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