Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
:
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
definido por
Notei uma inconsistência: o vetor é escrito como
(quatro coordenadas) mas o conjunto é descrito como pertencente a
(três coordenadas) e a equação envolve apenas
. Vou assumir que a intenção correta é
As perguntas que o enunciado faz (implicitamente) são: este subconjunto
é um subespaço vetorial de
? Quais propriedades devemos verificar?
Passo 2
Lembrete didático: para que um subconjunto
seja subespaço vetorial, basta (e é equivalente a) verificar três propriedades simples:
-
contém o vetor zero (não é vazio): . - Fechado sob soma: se
e então . - Fechado sob multiplicação escalar: se
e então .
Vou checar essas propriedades uma a uma para
. Explico cada passo com calma para você conseguir usar na prova.
Passo 3
Verificar se o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em
é
. Substituindo na equação definidora:
Como a igualdade é satisfeita,
. Então a primeira condição está ok.
Passo 4
Verificar fechamento por multiplicação escalar (caso geral, com demonstração algébrica).
Seja
. Isso significa que
Tome um escalar arbitrário
. O vetor escalado é
. Substituindo na equação:
Portanto
para todo
. Conclusão:
é fechado por multiplicação escalar.
Comentário didático: isso funciona porque a equação é homogênea de grau
— ao multiplicar por
surge um fator
que preserva a igualdade zero. Por isso a condição de homogeneidade em relação ao grau é importante para escalares.
Passo 5
Verificar fechamento por soma — procurar contraexemplo concreto.
Fechamento por soma exige que para quaisquer
seja
. Em geral, se
e
então
não simplifica em geral para
mais
porque aparecem termos mistos
. Logo não é óbvio que a soma permaneça em
. Para decidir, é suficiente achar um contraexemplo (dois vetores em
cuja soma não esteja em
).
Escolho vetores simples (intuitivamente, vetores com componentes inteiras) e verifico:
- Tome
. Calculando:
logo
.
- Tome
. Calculando:
logo
.
Agora a soma
. Verifico se está em
:
Portanto
. Achamos um contraexemplo: dois vetores em
cuja soma não pertence a
.
Passo 6
Conclusão lógica final.
Como
falha na propriedade de fechamento por soma (apesar de conter o zero e ser fechado por multiplicação escalar),
não é um subespaço vetorial de
.
Comentário didático final: geometricamente, a equação
define uma superfície (duas cones duplos) que não é fechada sob soma de vetores. Em geral, conjuntos definidos por equações quadráticas raramente são subespaços lineares — para obter um subespaço, a equação definidora deve ser linear homogênea (por exemplo
).
Resposta
Não.
não é subespaço de
.