(Bônus - 1 ponto)
Seja
.
Definimos a aplicaçāo
por
O produto definido acima é um produto interno? Justifique a sua resposta.
Definimos a aplicaçāo
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço
(ou seja, ). - Uma aplicação
definida por, para e ,
O que o problema pede:
- Determinar se a aplicação acima é um produto interno em
. - Justificar a resposta.
Passo 2
O que é preciso verificar para decidir se algo é produto interno (definição e axiomas, explicados passo a passo).
Para um espaço vetorial real, uma aplicação é um produto interno se satisfaz três propriedades principais:
Para um espaço vetorial real, uma aplicação
- Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para quaisquer
e escalares ,
e
- Simetria (no caso real): para quaisquer
,
- Positividade definida: para qualquer
,
e além disso
se, e somente se,
.
Estratégia: vamos checar essas propriedades para a aplicação dada — linearidade, simetria e positividade definida — mostrando cálculos e, quando uma propriedade falhar, daremos contraexemplos concretos.
Passo 3
Verificar bilinearidade (linearidade em cada argumento).
Seja com
e
.
Seja
Primeiro, checar linearidade em
. Tomemos
,
,
e escalares
. Então
é o valor aplicado aos componentes
e
. Calculando:
Logo é linear em
. Por simetria da forma das expressões (o termo misto é bilinear e
é bilinear também), análoga conta mostra linearidade em
. Conclusão: a aplicação é bilinear (ou seja, é bilinear).
Passo 4
Verificar simetria.
Calculemos e
:
Calculemos
Portanto
Isto não é, em geral, zero: o termo
pode ser distinto de zero. Vamos dar um contraexemplo explícito (mais fácil de visualizar):
- Tome
e .
Então
enquanto
Como
, a aplicação não é simétrica. Conclusão: falha a propriedade de simetria necessária para produto interno.
Passo 5
Verificar positividade definida.
Calculemos para
:
Calculemos
Observações:
- Sempre
, logo a forma é semidefinida positiva (não produz números negativos sobre o mesmo vetor). - Porém,
sempre que , mesmo que . Por exemplo, para tem-se embora .
A exigência de produto interno é queocorra somente para . Como existem vetores não nulos com , a aplicação não é definida positiva.
Passo 6
Conclusão combinada e justificativa final.
- A aplicação é bilinear, mas já falha a simetria (Passo 4): existem pares
com . - A aplicação também falha a positividade definida (Passo 5): existem
com .
Como pelo menos uma (na verdade duas) das propriedades necessárias para um produto interno não são satisfeitas, a aplicação dada não é um produto interno em.
Resposta
Não.