(Bônus - 1 ponto)
Seja V=\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\}.
Definimos a aplicaçāo V \times V \rightarrow \mathbb{R} por
v_{1}+v_{2}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+x_{3} y_{3} .
O produto definido acima é um produto interno? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço V=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\} (ou seja, \mathbb{R}^3).
  • Uma aplicação V\times V\to\mathbb{R} definida por, para v_{1}=(x_{1},x_{2},x_{3}) e v_{2}=(y_{1},y_{2},y_{3}),
v_{1}+v_{2}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{3}.
O que o problema pede:
  • Determinar se a aplicação acima é um produto interno em V.
  • Justificar a resposta.

Passo 2

O que é preciso verificar para decidir se algo é produto interno (definição e axiomas, explicados passo a passo).
Para um espaço vetorial real, uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R} é um produto interno se satisfaz três propriedades principais:
  1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para quaisquer u,v,w\in V e escalares a,b\in\mathbb{R},
\langle a u + b v, w\rangle = a\langle u,w\rangle + b\langle v,w\rangle
e
\langle w, a u + b v\rangle = a\langle w,u\rangle + b\langle w,v\rangle.
  1. Simetria (no caso real): para quaisquer u,v\in V,
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
  1. Positividade definida: para qualquer v\in V,
\langle v,v\rangle \ge 0,
e além disso \langle v,v\rangle = 0 se, e somente se, v=0.
Estratégia: vamos checar essas propriedades para a aplicação dada — linearidade, simetria e positividade definida — mostrando cálculos e, quando uma propriedade falhar, daremos contraexemplos concretos.

Passo 3

Verificar bilinearidade (linearidade em cada argumento).
Seja \langle v_1,v_2\rangle := x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{3} com v_1=(x_1,x_2,x_3) e v_2=(y_1,y_2,y_3).
Primeiro, checar linearidade em v_1. Tomemos v_1=(x_1,x_2,x_3), v_1'=(x_1',x_2',x_3'), v_2=(y_1,y_2,y_3) e escalares a,b. Então
\langle a v_1 + b v_1', v_2\rangle
é o valor aplicado aos componentes (a x_1 + b x_1',\, a x_2 + b x_2',\, a x_3 + b x_3') e (y_1,y_2,y_3). Calculando:
\begin{aligned} \langle a v_1 + b v_1', v_2\rangle &= (a x_1 + b x_1')y_2 - (a x_2 + b x_2')y_1 + (a x_3 + b x_3')y_3\\\ &= a(x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_3 y_3) + b(x_1' y_2 - x_2' y_1 + x_3' y_3)\\\ &= a\langle v_1,v_2\rangle + b\langle v_1',v_2\rangle. \end{aligned}
Logo é linear em v_1. Por simetria da forma das expressões (o termo misto é bilinear e x_3y_3 é bilinear também), análoga conta mostra linearidade em v_2. Conclusão: a aplicação é bilinear (ou seja, é bilinear).

Passo 4

Verificar simetria.
Calculemos \langle v_1,v_2\rangle e \langle v_2,v_1\rangle:
\langle v_1,v_2\rangle = x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{3},
\langle v_2,v_1\rangle = y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}+y_{3}x_{3} = -(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}) + x_{3}y_{3}.
Portanto
\langle v_2,v_1\rangle - \langle v_1,v_2\rangle = -2(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).
Isto não é, em geral, zero: o termo x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} pode ser distinto de zero. Vamos dar um contraexemplo explícito (mais fácil de visualizar):
  • Tome v_1=(1,0,0) e v_2=(0,1,0).
    Então
\langle v_1,v_2\rangle = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1,
enquanto
\langle v_2,v_1\rangle = 0\cdot 0 - 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = -1.
Como 1\neq -1, a aplicação não é simétrica. Conclusão: falha a propriedade de simetria necessária para produto interno.

Passo 5

Verificar positividade definida.
Calculemos \langle v,v\rangle para v=(x_1,x_2,x_3):
\langle v,v\rangle = x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{3} = 0 + x_{3}^{2} = x_{3}^{2}.
Observações:
  • Sempre \langle v,v\rangle = x_{3}^{2}\ge 0, logo a forma é semidefinida positiva (não produz números negativos sobre o mesmo vetor).
  • Porém, \langle v,v\rangle = 0 sempre que x_{3}=0, mesmo que (x_1,x_2)\neq(0,0). Por exemplo, para v=(1,0,0) tem-se \langle v,v\rangle = 0 embora v\neq 0.
    A exigência de produto interno é que \langle v,v\rangle = 0 ocorra somente para v=0. Como existem vetores não nulos com \langle v,v\rangle = 0, a aplicação não é definida positiva.

Passo 6

Conclusão combinada e justificativa final.
  • A aplicação é bilinear, mas já falha a simetria (Passo 4): existem pares v_1,v_2 com \langle v_1,v_2\rangle\neq\langle v_2,v_1\rangle.
  • A aplicação também falha a positividade definida (Passo 5): existem v\neq 0 com \langle v,v\rangle=0.
    Como pelo menos uma (na verdade duas) das propriedades necessárias para um produto interno não são satisfeitas, a aplicação dada não é um produto interno em V.

Resposta

Não.

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