Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem as duas equações lineares homogêneas e . - Não há outras restrições além dessas duas equações.
Passo 2
Vou lembrar o que significa ser subespaço (a definição que você deve usar na prova). Um subconjunto
de
é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes práticas:
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Essas três condições são suficientes e fáceis de checar numa prova curta. Outra forma equivalente (útil também) é mostrar que
é o conjunto solução de um sistema linear homogêneo ou que
é o span (espaço gerado) de alguns vetores.
Passo 3
Verificação da presença do vetor zero. O vetor nulo em
é
. Substituindo nas equações:
Ambas as equações são satisfeitas, logo
. Portanto a primeira condição está ok.
Passo 4
Verificação da propriedade de fechamento por adição (passo a passo, didático).
Tomemos dois vetores quaisquer de :
Tomemos dois vetores quaisquer de
Pelo fato de estarem em
, sabemos que
e
Agora considere a soma
. Vamos verificar as equações:
Calcule . Usando linearidade:
Calcule
Calcule
:
Portanto
satisfaz as duas equações e então
. Concluímos que
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificação da propriedade de fechamento por multiplicação escalar (passo a passo).
Tome e um escalar
. Sabemos que
e
. Considere
. Verificamos:
Tome
e
Portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão a partir das verificações: como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalares,
é um subespaço de
. Dica prática para prova: sempre que o conjunto é dado por equações lineares homogêneas (igual a zero), é muito comum que seja subespaço — pois o conjunto solução de um sistema homogêneo é um subespaço.
Passo 7
Complemento útil (como aprender a usar isso na hora da prova): escrever
em forma paramétrica e reconhecer uma base. Das equações dadas temos
Então um vetor genérico de
é
Separe os parâmetros
e
:
Isto mostra que
ou seja,
é gerado linearmente por esses dois vetores. Assim
é um subespaço de dimensão
e
é uma base de
(os dois vetores são linearmente independentes).
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.