Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 3 x-y=0 \mathrm{e} z+2 t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid 3x-y=0\\ \text{e}\\ z+2t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
  • S é o conjunto de todos os vetores (x,y,z,t) em \mathbb{R}^{4} que satisfazem as duas equações lineares homogêneas 3x-y=0 e z+2t=0.
  • Não há outras restrições além dessas duas equações.

Passo 2

Vou lembrar o que significa ser subespaço (a definição que você deve usar na prova). Um subconjunto V de \mathbb{R}^{n} é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes práticas:
  1. V contém o vetor nulo \mathbf{0}.
  2. V é fechado sob adição: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in V então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V.
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in V e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\mathbf{u}\in V.
Essas três condições são suficientes e fáceis de checar numa prova curta. Outra forma equivalente (útil também) é mostrar que V é o conjunto solução de um sistema linear homogêneo ou que V é o span (espaço gerado) de alguns vetores.

Passo 3

Verificação da presença do vetor zero. O vetor nulo em \mathbb{R}^{4} é \mathbf{0}=(0,0,0,0). Substituindo nas equações:
3\cdot 0 - 0 = 0\quad\text{e}\quad 0 + 2\cdot 0 = 0.
Ambas as equações são satisfeitas, logo \mathbf{0}\in S. Portanto a primeira condição está ok.

Passo 4

Verificação da propriedade de fechamento por adição (passo a passo, didático).
Tomemos dois vetores quaisquer de S:
\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S,\qquad \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S.
Pelo fato de estarem em S, sabemos que
3x_1-y_1=0,\quad z_1+2t_1=0,
e
3x_2-y_2=0,\quad z_2+2t_2=0.
Agora considere a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Vamos verificar as equações:
Calcule 3(x_1+x_2)-(y_1+y_2). Usando linearidade:
3(x_1+x_2)-(y_1+y_2)=(3x_1-y_1)+(3x_2-y_2)=0+0=0.
Calcule (z_1+z_2)+2(t_1+t_2):
(z_1+z_2)+2(t_1+t_2)=(z_1+2t_1)+(z_2+2t_2)=0+0=0.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz as duas equações e então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Concluímos que S é fechado sob adição.

Passo 5

Verificação da propriedade de fechamento por multiplicação escalar (passo a passo).
Tome \mathbf{u}=(x,y,z,t)\in S e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Sabemos que 3x-y=0 e z+2t=0. Considere \alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t). Verificamos:
3(\alpha x)-(\alpha y)=\alpha(3x-y)=\alpha\cdot 0=0,
e
(\alpha z)+2(\alpha t)=\alpha(z+2t)=\alpha\cdot 0=0.
Portanto \alpha\mathbf{u}\in S. Assim S é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão a partir das verificações: como S contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalares, S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. Dica prática para prova: sempre que o conjunto é dado por equações lineares homogêneas (igual a zero), é muito comum que seja subespaço — pois o conjunto solução de um sistema homogêneo é um subespaço.

Passo 7

Complemento útil (como aprender a usar isso na hora da prova): escrever S em forma paramétrica e reconhecer uma base. Das equações dadas temos
3x-y=0\implies y=3x,\qquad z+2t=0\implies z=-2t.
Então um vetor genérico de S é
(x,y,z,t)=(x,3x,-2t,t).
Separe os parâmetros x e t:
(x,3x,-2t,t)=x(1,3,0,0)+t(0,0,-2,1).
Isto mostra que
S=\operatorname{span}\{(1,3,0,0),\\ (0,0,-2,1)\},
ou seja, S é gerado linearmente por esses dois vetores. Assim S é um subespaço de dimensão 2 e \{(1,3,0,0),(0,0,-2,1)\} é uma base de S (os dois vetores são linearmente independentes).

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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