Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de [\mathbb{R}^4).
Informações dadas:
ou seja,
cujas coordenadas satisfazem essas duas equações simultaneamente. Nada mais foi pedido além de decidir se
é (ou não é) subespaço do espaço vetorial
.]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço? Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
. Para
ser subespaço de
precisamos checar (equivalente) as três propriedades abaixo:
Explicação curta do porquê: um subespaço é um conjunto que, com as operações herdadas do espaço maior, forma ele mesmo um espaço vetorial. Assim tem que conter o zero e ser fechado para combinações lineares simples (soma e escala).
Na prática, em prova é comum primeiro verificar se o vetor zero pertence a
. Se não pertencer, já podemos concluir que
não é subespaço (pois falha (i)). Se pertencer, aí checamos (ii) e (iii) ou fechamentos de combinações lineares.]
Passo 3
Cheque do vetor zero: o vetor zero de
é
Substituindo nas equações que definem
obtemos
A segunda equação é satisfeita (
), mas a primeira não:
Logo
. Portanto a propriedade (i) necessária para ser subespaço não é satisfeita.
Passo 4
Didática extra (útil na prova): como a propriedade (i) já falhou, não precisamos continuar para concluir que
não é subespaço. Mas é didaticamente interessante ver exemplos concretos que mostram também a falha nas propriedades (ii) ou (iii).
Escolhemos um vetor que pertence a
. Por exemplo
Verificamos:
portanto
.
Agora veja o que acontece sob multiplicação escalar: pegue
. Então
Para
temos
logo
. Isso mostra explicitamente que
não é fechado sob multiplicação por escalar (propriedade (iii) falha).
Passo 5
Outro contraexemplo mostrando falha em adição (propriedade (ii)): tome
pois
e
, e ambos têm
. A soma é
mas
então
. Portanto
também não é fechado sob adição.
Passo 6
Conceito complementar (para fixar a ideia): a equação
é homogênea — se tivéssemos apenas
essa
é subespaço, pois contém
e é fechada em soma e escala (pode-se provar tomando vetores genéricos que satisfazem
). Já a equação
é não-homogênea (termo constante
) e impõe que todos os vetores em
tenham soma das duas primeiras coordenadas igual a
; isso desloca o conjunto de modo que ele não passa pela origem — por isso em geral conjuntos definidos por equações lineares não-homogêneas são afins (translate de um subespaço) e não subespaços.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.