Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
U=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=1 e z-t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y=1 \text{ e } z-t=0\}
é um subespaço de [\mathbb{R}^4).
Informações dadas:
\begin{cases} x+y=1,\\[4pt] z-t=0, \end{cases}
ou seja, U\] é o conjunto de todos os vetores em \(\mathbb{R}^4 cujas coordenadas satisfazem essas duas equações simultaneamente. Nada mais foi pedido além de decidir se U é (ou não é) subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^4.]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço? Seja W um subconjunto de um espaço vetorial V. Para W ser subespaço de V precisamos checar (equivalente) as três propriedades abaixo:
\begin{aligned} &\text{(i) } \mathbf{0}\in W \quad\text{(vetor zero do espaço ambient está em \(W\))},\\[4pt] &\text{(ii) } \text{se }u\in W \text{ e } v\in W \text{ então } u+v\in W \quad\text{(fechado sob adição)},\\[4pt] &\text{(iii) } \text{se }u\in W \text{ e } \alpha\in\mathbb{R} \text{ então } \alpha u\in W \quad\text{(fechado sob multiplicação escalar)}. \end{aligned}çáãçããçã
Explicação curta do porquê: um subespaço é um conjunto que, com as operações herdadas do espaço maior, forma ele mesmo um espaço vetorial. Assim tem que conter o zero e ser fechado para combinações lineares simples (soma e escala).
Na prática, em prova é comum primeiro verificar se o vetor zero pertence a W. Se não pertencer, já podemos concluir que W não é subespaço (pois falha (i)). Se pertencer, aí checamos (ii) e (iii) ou fechamentos de combinações lineares.]

Passo 3

Cheque do vetor zero: o vetor zero de \mathbb{R}^4 é
\mathbf{0}=(0,0,0,0).
Substituindo nas equações que definem U obtemos
x+y=0+0=0 \quad\text{e}\quad z-t=0-0=0.
A segunda equação é satisfeita ( 0=0), mas a primeira não:
x+y=0 \neq 1.
Logo \mathbf{0}\notin U. Portanto a propriedade (i) necessária para ser subespaço não é satisfeita.

Passo 4

Didática extra (útil na prova): como a propriedade (i) já falhou, não precisamos continuar para concluir que U não é subespaço. Mas é didaticamente interessante ver exemplos concretos que mostram também a falha nas propriedades (ii) ou (iii).
Escolhemos um vetor que pertence a U. Por exemplo
u=(1,0,0,0).
Verificamos:
x+y=1+0=1,\qquad z-t=0-0=0,
portanto u\in U.
Agora veja o que acontece sob multiplicação escalar: pegue \alpha=2. Então
2u=(2,0,0,0).
Para 2u temos
x+y=2+0=2\neq1,
logo 2u\notin U. Isso mostra explicitamente que U não é fechado sob multiplicação por escalar (propriedade (iii) falha).

Passo 5

Outro contraexemplo mostrando falha em adição (propriedade (ii)): tome
u=(1,0,0,0)\in U\quad\text{e}\quad v=(0,1,0,0)\in U,
pois 1+0=1 e 0+1=1, e ambos têm z-t=0. A soma é
u+v=(1,1,0,0),
mas
x+y=1+1=2\neq1,
então u+v\notin U. Portanto U também não é fechado sob adição.

Passo 6

Conceito complementar (para fixar a ideia): a equação z-t=0 é homogênea — se tivéssemos apenas
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid z-t=0\}
essa W é subespaço, pois contém \mathbf{0} e é fechada em soma e escala (pode-se provar tomando vetores genéricos que satisfazem z=t). Já a equação x+y=1 é não-homogênea (termo constante 1) e impõe que todos os vetores em U tenham soma das duas primeiras coordenadas igual a 1; isso desloca o conjunto de modo que ele não passa pela origem — por isso em geral conjuntos definidos por equações lineares não-homogêneas são afins (translate de um subespaço) e não subespaços.

Resposta

Não, U não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

Exercícios relacionados