Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
Enunciado: o subconjunto
de
é dado por
Pergunta: determinar se
é um subespaço de
.
Informações relevantes dadas:
- Cada elemento de
é um vetor em que satisfaz a equação . - Não há outras restrições além dessa equação.
Passo 2
Entender o que significa a equação
. Cada termo
,
,
é um quadrado de número real, e sabemos que para todo real
temos
. Logo a soma
é uma soma de três números não negativos. Vou explicar por que isso força cada um deles a ser zero:
Se
e
, então necessariamente
,
e
. Porque se algum deles fosse estritamente positivo, a soma seria estritamente positiva, contradizendo que a soma é zero.
Aplicando isso a
: da igualdade
segue que
,
e
.
Passo 3
De
decorre
; analogamente
e
. Portanto todo vetor em
é o vetor nulo. Ou seja,
Esse conjunto tem um nome comum: o subespaço trivial (ou conjunto só com o vetor zero).
Passo 4
Relembrando o critério prático para detectar subespaços: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Vou verificar essas propriedades para
.
Passo 5
Verificação das propriedades para
:
-
Contém o vetor zero: obviousamente
. -
Fechamento sob adição: pegue quaisquer
. Como só tem um elemento, e . Então
Assim a soma de quaisquer dois elementos de
está em
.
- Fechamento sob multiplicação por escalares: pegue
e . Novamente . Então
Portanto
é fechado sob multiplicação por escalares.
Como as três propriedades são satisfeitas,
é um subespaço de
.
Passo 6
Comentário intuitivo e dica de prova em prova: quando uma condição define a soma de quadrados igual a zero em
, normalmente isso força cada componente a ser zero. Isso é um truque frequente: somas de quantidades não negativas que valem zero implicam que todas as quantidades são zero. Reconhecer esse padrão salva tempo em provas. Além disso, lembrar que o conjunto somente com o vetor zero é sempre um subespaço (o subespaço trivial) é uma boa referência rápida.
Resposta
Sim.
e é um subespaço de
.