Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
V=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

Enunciado: o subconjunto V de \mathbb{R}^{3} é dado por
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\}.
Pergunta: determinar se V é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas:
  • Cada elemento de V é um vetor (x,y,z) em \mathbb{R}^{3} que satisfaz a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.
  • Não há outras restrições além dessa equação.

Passo 2

Entender o que significa a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=0. Cada termo x^{2}, y^{2}, z^{2} é um quadrado de número real, e sabemos que para todo real t temos t^{2}\ge 0. Logo a soma x^{2}+y^{2}+z^{2} é uma soma de três números não negativos. Vou explicar por que isso força cada um deles a ser zero:
Se a,b,c\ge 0 e a+b+c=0, então necessariamente a=0, b=0 e c=0. Porque se algum deles fosse estritamente positivo, a soma seria estritamente positiva, contradizendo que a soma é zero.
Aplicando isso a x^{2},y^{2},z^{2}: da igualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 segue que x^{2}=0, y^{2}=0 e z^{2}=0.

Passo 3

De x^{2}=0 decorre x=0; analogamente y=0 e z=0. Portanto todo vetor em V é o vetor nulo. Ou seja,
V=\{(0,0,0)\}.
Esse conjunto tem um nome comum: o subespaço trivial (ou conjunto só com o vetor zero).

Passo 4

Relembrando o critério prático para detectar subespaços: um subconjunto W\subset\mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se
  1. W contém o vetor zero;
  2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Vou verificar essas propriedades para V=\{(0,0,0)\}.

Passo 5

Verificação das propriedades para V=\{(0,0,0)\}:
  1. Contém o vetor zero: obviousamente (0,0,0)\in V.
  2. Fechamento sob adição: pegue quaisquer u,v\in V. Como V só tem um elemento, u=(0,0,0) e v=(0,0,0). Então
u+v=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)\in V.
Assim a soma de quaisquer dois elementos de V está em V.
  1. Fechamento sob multiplicação por escalares: pegue \lambda\in\mathbb{R} e u\in V. Novamente u=(0,0,0). Então
\lambda u=\lambda(0,0,0)=(0,0,0)\in V.
Portanto V é fechado sob multiplicação por escalares.
Como as três propriedades são satisfeitas, V é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Comentário intuitivo e dica de prova em prova: quando uma condição define a soma de quadrados igual a zero em \mathbb{R}, normalmente isso força cada componente a ser zero. Isso é um truque frequente: somas de quantidades não negativas que valem zero implicam que todas as quantidades são zero. Reconhecer esse padrão salva tempo em provas. Além disso, lembrar que o conjunto somente com o vetor zero é sempre um subespaço (o subespaço trivial) é uma boa referência rápida.

Resposta

Sim. V=\{(0,0,0)\} e é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados