Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
definido por
A pergunta é: “Esse subconjunto
é um subespaço de
?”
Informações relevantes fornecidas:
- A condição que descreve
é a equação .
- O espaço ambiente é
com vetores escritos como .
Passo 2
Lembrete didático (o que um subconjunto precisa satisfazer para ser subespaço): um subconjunto
é subespaço se, e somente se, satisfaz as três propriedades seguintes:
-
, isto é, o vetor nulo pertence a .
- Fechamento por soma: se
e , então .
- Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Explicação curta e prática: a verificação mais rápida muitas vezes é checar se o vetor nulo está em
. Isso porque, se o vetor nulo não está em
, então a propriedade de multiplicação escalar com
já falha (pois
deve estar em
para qualquer
). Portanto, ausência do vetor nulo é suficiente para concluir que não é subespaço.
Passo 3
Aplicando o teste do vetor nulo em
: calculemos a condição para
.
Como
, a equação
não é satisfeita por
. Logo,
Passo 4
Conclusão imediata a partir do passo anterior: como o vetor nulo não pertence a
, a propriedade obrigatória “o vetor nulo pertence ao subespaço” falha. Portanto
não pode ser um subespaço de
.
Passo 5
Complemento didático (exemplo prático que mostra falha de fechamento escalar): escolha um vetor que pertença a
. Por exemplo, pegue
,
,
. Então
portanto
. Multiplicando por
obtemos
. Verificando a condição:
logo
. Isso mostra explicitamente que
não é fechado sob multiplicação escalar — outra confirmação de que
não é subespaço.
Resposta
Não —
não é subespaço de
.