Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
T=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid \cos x+y-z=0 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto T\subset\mathbb{R}^{3} definido por
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \cos x + y - z = 0\}.
A pergunta é: “Esse subconjunto T é um subespaço de \mathbb{R}^{3}?”
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição que descreve T é a equação \cos x + y - z = 0.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{3} com vetores escritos como (x,y,z).

Passo 2

Lembrete didático (o que um subconjunto precisa satisfazer para ser subespaço): um subconjunto V\subset\mathbb{R}^{n} é subespaço se, e somente se, satisfaz as três propriedades seguintes:
  1. \mathbf{0}\in V, isto é, o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,\dots,0) pertence a V.
  2. Fechamento por soma: se \mathbf{u}\in V e \mathbf{v}\in V, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in V e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda\mathbf{u}\in V.
Explicação curta e prática: a verificação mais rápida muitas vezes é checar se o vetor nulo está em V. Isso porque, se o vetor nulo não está em V, então a propriedade de multiplicação escalar com \lambda=0 já falha (pois 0\cdot\mathbf{u}=\mathbf{0} deve estar em V para qualquer \mathbf{u}\in V). Portanto, ausência do vetor nulo é suficiente para concluir que não é subespaço.

Passo 3

Aplicando o teste do vetor nulo em T: calculemos a condição para (0,0,0).
\cos 0 + 0 - 0 = \cos 0 = 1.
Como 1\neq 0, a equação \cos x + y - z = 0 não é satisfeita por (0,0,0). Logo,
(0,0,0)\notin T.

Passo 4

Conclusão imediata a partir do passo anterior: como o vetor nulo não pertence a T, a propriedade obrigatória “o vetor nulo pertence ao subespaço” falha. Portanto T não pode ser um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Complemento didático (exemplo prático que mostra falha de fechamento escalar): escolha um vetor que pertença a T. Por exemplo, pegue x=\pi, y=1, z=0. Então
\cos\pi + 1 - 0 = -1 + 1 = 0,
portanto (\pi,1,0)\in T. Multiplicando por \lambda=2 obtemos (2\pi,2,0). Verificando a condição:
\cos(2\pi) + 2 - 0 = 1 + 2 = 3 \neq 0,
logo 2(\pi,1,0)\notin T. Isso mostra explicitamente que T não é fechado sob multiplicação escalar — outra confirmação de que T não é subespaço.

Resposta

Não — T não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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