Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y=0 e z=3 t \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto S de \mathbb{R}^{4} definido por duas equações lineares:
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+2y=0\\ \text{e}\\ z=3t\}.
A pergunta é: “Esse conjunto S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}?” Não há outras informações.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, de forma clara e prática, o que significa ser subespaço de \mathbb{R}^{n}. Um subconjunto V\subset\mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,\dots,0).
  2. É fechado sob soma: se \mathbf{u}\in V e \mathbf{v}\in V, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in V e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda\mathbf{u}\in V.
Essas três verificações são usadas frequentemente em provas de subespaço. Outra observação útil (que vamos usar mais adiante): o conjunto solução de um sistema de equações lineares homogêneas (isto é, todas as equações igualadas a zero) é sempre um subespaço. Aqui as equações têm lado direito zero: x+2y=0 e z-3t=0; isso já é um sinal forte de que S provavelmente é subespaço, mas vamos verificar as três propriedades detalhadamente para ter certeza.

Passo 3

Verificando presença do vetor zero. Pegamos \mathbf{0}=(0,0,0,0) e testamos as equações:
0+2\cdot 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0 = 3\cdot 0.
Ambas são verdadeiras, então \mathbf{0}\in S. Primeira propriedade satisfeita.

Passo 4

Verificando fechamento por soma. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S. Como pertencem a S, temos
x_1 + 2y_1 = 0,\quad z_1 = 3t_1,
x_2 + 2y_2 = 0,\quad z_2 = 3t_2.
Agora considere \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Vamos verificar as duas equações para esse vetor soma:
Para a primeira coordenada,
(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) = (x_1+2y_1) + (x_2+2y_2) = 0 + 0 = 0.
Para a relação entre z e t,
z_1+z_2 = 3t_1 + 3t_2 = 3(t_1+t_2).
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz as duas equações e assim \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Segunda propriedade satisfeita.

Passo 5

Verificando fechamento por multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z,t)\in S, isto é x+2y=0 e z=3t. Considere \lambda\mathbf{u}=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t). Testamos as equações:
Para a primeira,
\lambda x + 2(\lambda y) = \lambda(x+2y) = \lambda\cdot 0 = 0.
Para z e t,
\lambda z = \lambda(3t) = 3(\lambda t).
Logo \lambda\mathbf{u} também satisfaz as definições e \lambda\mathbf{u}\in S. Terceira propriedade satisfeita.

Passo 6

Uma forma alternativa e muito didática de ver S é parametrizá-lo: das equações temos x=-2y e z=3t. Assim um elemento qualquer de S é da forma
(x,y,z,t)=(-2y,\;y,\;3t,\;t).
Escrevendo em combinação linear dos parâmetros y e t,
(-2y,\;y,\;3t,\;t) = y(-2,1,0,0) + t(0,0,3,1).
Isso mostra que todo vetor de S é combinação linear dos vetores (-2,1,0,0) e (0,0,3,1). Portanto S é o subespaço gerado (span) desses dois vetores. Para completar, verificamos que eles são linearmente independentes: se a(-2,1,0,0)+b(0,0,3,1)=(0,0,0,0), então olhando a segunda coordenada obtemos a=0 e olhando a quarta coordenada obtemos b=0. Assim são independentes, logo formam uma base de S e \dim S = 2.

Passo 7

Resumo das verificações: o vetor zero pertence a S; S é fechado por soma e por multiplicação por escalar; e além disso podemos escrever S=\operatorname{span}\{(-2,1,0,0),(0,0,3,1)\} com esses dois vetores linearmente independentes. Portanto as condições de subespaço estão todas satisfeitas.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^{4}. Uma base é \{(-2,1,0,0),\,(0,0,3,1)\} e \dim S=2.

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