Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
definido por duas equações lineares:
A pergunta é: “Esse conjunto
é um subespaço de
?” Não há outras informações.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, de forma clara e prática, o que significa ser subespaço de
. Um subconjunto
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
- Contém o vetor nulo
. - É fechado sob soma: se
e , então . - É fechado sob multiplicação por escalar: se
e , então .
Essas três verificações são usadas frequentemente em provas de subespaço. Outra observação útil (que vamos usar mais adiante): o conjunto solução de um sistema de equações lineares homogêneas (isto é, todas as equações igualadas a zero) é sempre um subespaço. Aqui as equações têm lado direito zero:
e
; isso já é um sinal forte de que
provavelmente é subespaço, mas vamos verificar as três propriedades detalhadamente para ter certeza.
Passo 3
Verificando presença do vetor zero. Pegamos
e testamos as equações:
Ambas são verdadeiras, então
. Primeira propriedade satisfeita.
Passo 4
Verificando fechamento por soma. Seja
e
. Como pertencem a
, temos
Agora considere
. Vamos verificar as duas equações para esse vetor soma:
Para a primeira coordenada,
Para a primeira coordenada,
Para a relação entre
e
,
Portanto
satisfaz as duas equações e assim
. Segunda propriedade satisfeita.
Passo 5
Verificando fechamento por multiplicação escalar. Seja
e
, isto é
e
. Considere
. Testamos as equações:
Para a primeira,
Para a primeira,
Para
e
,
Logo
também satisfaz as definições e
. Terceira propriedade satisfeita.
Passo 6
Uma forma alternativa e muito didática de ver
é parametrizá-lo: das equações temos
e
. Assim um elemento qualquer de
é da forma
Escrevendo em combinação linear dos parâmetros
e
,
Isso mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
. Portanto
é o subespaço gerado (span) desses dois vetores. Para completar, verificamos que eles são linearmente independentes: se
, então olhando a segunda coordenada obtemos
e olhando a quarta coordenada obtemos
. Assim são independentes, logo formam uma base de
e
.
Passo 7
Resumo das verificações: o vetor zero pertence a
;
é fechado por soma e por multiplicação por escalar; e além disso podemos escrever
com esses dois vetores linearmente independentes. Portanto as condições de subespaço estão todas satisfeitas.
Resposta
Sim.
é subespaço de
. Uma base é
e
.