Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=y=z=t \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=y=z=t\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. Informações dadas: todo vetor de S tem as quatro coordenadas iguais (ou seja, um vetor de S tem forma (a,a,a,a) para algum a\in\mathbb{R}). O que precisamos responder: “Sim” ou “Não” — S é subespaço de \mathbb{R}^{4} ou não.

Passo 2

Lembra da definição de subespaço (a “aula” rápida): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (vou usar a versão prática, que é a mais direta na prova):
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Explicando cada item como se eu estivesse escrevendo na prova:
  • “Contém o vetor zero” significa que (0,0,0,0) deve estar em W.
  • “Fechado sob soma” significa que somar dois vetores que obedecem a condição do conjunto dá outro vetor que continua obedecendo.
  • “Fechado por escalar” significa que multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real gera outro vetor no conjunto.

Passo 3

Verificação do vetor zero em S.
Um vetor genérico de S tem a forma (a,a,a,a) com a\in\mathbb{R}. Se escolhermos a=0 obtemos (0,0,0,0). Logo (0,0,0,0)\in S. Portanto a primeira propriedade está satisfeita.
Pequena explicação pedagógica: sempre que um conjunto é definido por igualdade de coordenadas (todas iguais entre si), o vetor nulo geralmente está lá (basta tomar a coordenada igual a zero). Isso é um teste rápido que eu faço nas provas.

Passo 4

Fechamento por soma — mostro passo a passo.
Sejam dois vetores quaisquer de S. Pelo enunciado, escrevemos
u=(a,a,a,a)\quad\text{e}\quad v=(b,b,b,b),
com a,b\in\mathbb{R}. Agora somamos componente a componente:
u+v=(a+b,a+b,a+b,a+b).
Observe que todas as quatro coordenadas de u+v são iguais (todas valem a+b), portanto u+v tem a forma exigida para pertencer a S. Conclusão: u+v\in S. Assim S é fechado sob soma.
Pequeno reforço: a propriedade essencial aqui é que a soma preserva a igualdade das coordenadas porque você soma o mesmo tipo de coordenada em cada posição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar — mostro passo a passo.
Pegue um vetor qualquer u\in S, escrevemos u=(a,a,a,a) com a\in\mathbb{R}. Pegue um escalar qualquer \lambda\in\mathbb{R}. Multiplicando:
\lambda u=(\lambda a,\lambda a,\lambda a,\lambda a).
Todas as coordenadas continuam iguais (agora iguais a \lambda a), então \lambda u tem a forma exigida e pertence a S. Logo S é fechado sob multiplicação por escalar.
Dica prática para prova: quando a condição do conjunto é “todas as coordenadas iguais”, multiplicar por escalar mantém essa igualdade automaticamente.

Passo 6

Concluindo a verificação direta: já mostramos que (0,0,0,0)\in S, que S é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, pelos critérios da definição, S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Vou dar uma descrição alternativa que costuma cair em prova e é útil para compreensão: todo vetor de S é da forma (a,a,a,a)=a(1,1,1,1). Ou seja,
S=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\}.
Isto mostra que S é a reta através da origem no espaço \mathbb{R}^{4} que vai na direção do vetor (1,1,1,1). Assim S é um subespaço unidimensional; uma base é \{(1,1,1,1)\} e
\dim S = 1.

Passo 7

Resumo didático final: verifique sempre os três pontos da definição ou reconheça o conjunto como span de vetores. Para este conjunto a verificação é rápida porque a forma (a,a,a,a) facilita as contas.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
S=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\} e \dim S=1.

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