Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
. Informações dadas: todo vetor de
tem as quatro coordenadas iguais (ou seja, um vetor de
tem forma
para algum
). O que precisamos responder: “Sim” ou “Não” —
é subespaço de
ou não.
Passo 2
Lembra da definição de subespaço (a “aula” rápida): um subconjunto
de
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (vou usar a versão prática, que é a mais direta na prova):
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando cada item como se eu estivesse escrevendo na prova:
- “Contém o vetor zero” significa que
deve estar em . - “Fechado sob soma” significa que somar dois vetores que obedecem a condição do conjunto dá outro vetor que continua obedecendo.
- “Fechado por escalar” significa que multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real gera outro vetor no conjunto.
Passo 3
Verificação do vetor zero em
.
Um vetor genérico de
tem a forma
com
. Se escolhermos
obtemos
. Logo
. Portanto a primeira propriedade está satisfeita.
Pequena explicação pedagógica: sempre que um conjunto é definido por igualdade de coordenadas (todas iguais entre si), o vetor nulo geralmente está lá (basta tomar a coordenada igual a zero). Isso é um teste rápido que eu faço nas provas.
Passo 4
Fechamento por soma — mostro passo a passo.
Sejam dois vetores quaisquer de
. Pelo enunciado, escrevemos
com
. Agora somamos componente a componente:
Observe que todas as quatro coordenadas de
são iguais (todas valem
), portanto
tem a forma exigida para pertencer a
. Conclusão:
. Assim
é fechado sob soma.
Pequeno reforço: a propriedade essencial aqui é que a soma preserva a igualdade das coordenadas porque você soma o mesmo tipo de coordenada em cada posição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar — mostro passo a passo.
Pegue um vetor qualquer
, escrevemos
com
. Pegue um escalar qualquer
. Multiplicando:
Todas as coordenadas continuam iguais (agora iguais a
), então
tem a forma exigida e pertence a
. Logo
é fechado sob multiplicação por escalar.
Dica prática para prova: quando a condição do conjunto é “todas as coordenadas iguais”, multiplicar por escalar mantém essa igualdade automaticamente.
Passo 6
Concluindo a verificação direta: já mostramos que
, que
é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, pelos critérios da definição,
é um subespaço de
.
Vou dar uma descrição alternativa que costuma cair em prova e é útil para compreensão: todo vetor de
é da forma
. Ou seja,
Isto mostra que
é a reta através da origem no espaço
que vai na direção do vetor
. Assim
é um subespaço unidimensional; uma base é
e
Passo 7
Resumo didático final: verifique sempre os três pontos da definição ou reconheça o conjunto como span de vetores. Para este conjunto a verificação é rápida porque a forma
facilita as contas.
Resposta
Sim.
é subespaço de
.
e
.