Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
T=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-y+z=4 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y+z=4\}
é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^{3}. Informações dadas que vamos usar: a condição que define o conjunto é a equação linear x-y+z=4. O universo considerado é \mathbb{R}^{3}. A pergunta é “sim” ou “não”: T é subespaço de \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

O que significa “ser subespaço” (explicação didática): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se satisfaz pelo menos estas propriedades (uma forma comum de checar):
  1. W não é vazio (equivalente: contém o vetor nulo \mathbf{0}).
  2. W é fechado para soma: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado para multiplicação escalar: se \mathbf{v}\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\mathbf{v}\in W.
Explicando por que o vetor nulo deve estar em todo subespaço: se \mathbf{v}\in W então 0\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}. Como W deve ser fechado por multiplicação escalar, \mathbf{0} precisa estar em W. Então, checar se \mathbf{0} pertence ao conjunto costuma ser um teste rápido e suficiente para excluir a possibilidade de ser subespaço.

Passo 3

Testando a presença do vetor nulo: o vetor nulo de \mathbb{R}^{3} é \mathbf{0}=(0,0,0). Substituímos na equação que define T:
x-y+z = 0-0+0 = 0.
A condição exigida para pertencer a T é x-y+z=4. Como
0 \neq 4,
concluímos que \mathbf{0}=(0,0,0)\notin T.

Passo 4

Interpretação da consequência (didática): dado que todo subespaço deve conter o vetor nulo, e como vimos \mathbf{0}\notin T, isso já é suficiente para afirmar que T não é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Não precisamos verificar as outras duas propriedades porque falhar em qualquer uma já descarta a hipótese de subespaço.
Exemplo adicional (para fixar a ideia): considere a equação parecida
x-y+z=0.
O conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-y+z=0\} contém \mathbf{0} (pois 0-0+0=0) e, de fato, é um subespaço (é um plano que passa pela origem). A diferença com T é que T é um plano paralelo a esse, deslocado de maneira que não passa pela origem — por isso falha em ser subespaço.

Passo 5

Resumo final e incentivo: já que \mathbf{0}\notin T, T não pode ser subespaço de \mathbb{R}^{3}. Você fez a parte mais importante: testar o vetor nulo é um truque rápido para esse tipo de questão. Tá indo bem — continue assim!

Resposta

T não é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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