Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Informações dadas que vamos usar: a condição que define o conjunto é a equação linear
. O universo considerado é
. A pergunta é “sim” ou “não”:
é subespaço de
?
Passo 2
O que significa “ser subespaço” (explicação didática): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se satisfaz pelo menos estas propriedades (uma forma comum de checar):
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor nulo ). -
é fechado para soma: se então . -
é fechado para multiplicação escalar: se e então .
Explicando por que o vetor nulo deve estar em todo subespaço: se
então
. Como
deve ser fechado por multiplicação escalar,
precisa estar em
. Então, checar se
pertence ao conjunto costuma ser um teste rápido e suficiente para excluir a possibilidade de ser subespaço.
Passo 3
Testando a presença do vetor nulo: o vetor nulo de
é
. Substituímos na equação que define
:
A condição exigida para pertencer a
é
. Como
concluímos que
.
Passo 4
Interpretação da consequência (didática): dado que todo subespaço deve conter o vetor nulo, e como vimos
, isso já é suficiente para afirmar que
não é um subespaço de
. Não precisamos verificar as outras duas propriedades porque falhar em qualquer uma já descarta a hipótese de subespaço.
Exemplo adicional (para fixar a ideia): considere a equação parecida
O conjunto
contém
(pois
) e, de fato, é um subespaço (é um plano que passa pela origem). A diferença com
é que
é um plano paralelo a esse, deslocado de maneira que não passa pela origem — por isso falha em ser subespaço.
Passo 5
Resumo final e incentivo: já que
,
não pode ser subespaço de
. Você fez a parte mais importante: testar o vetor nulo é um truque rápido para esse tipo de questão. Tá indo bem — continue assim!