Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
T=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=2 x e z=0 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=2x,\; z=0\}
e pergunta se T é um subespaço de \mathbb{R}^3. As informações relevantes que temos são as duas restrições: y=2x e z=0. A pergunta concreta é: o conjunto T satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço?

Passo 2

Antes de testar T, vamos lembrar (com calma) o que significa ser subespaço de \mathbb{R}^3. Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço se e somente se três condições forem verdadeiras:
\text{(i) } \mathbf{0}\in S,\qquad \text{(ii) } u,v\in S \Rightarrow u+v\in S,\qquad \text{(iii) } \lambda\in\mathbb{R},\;u\in S \Rightarrow \lambda u\in S.
Essas condições significam, em palavras: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar. Se todas valem, então podemos somar vetores e multiplicá-los por escalares sem sair do conjunto — isso é exatamente a ideia de subespaço.

Passo 3

Verificar a presença do vetor zero. O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo x=0 nas condições de T obtemos y=2\cdot 0=0 e z=0. Logo (0,0,0) satisfaz as restrições, portanto
\mathbf{0}=(0,0,0)\in T.

Passo 4

Verificar fechamento por soma. Tome quaisquer dois vetores de T. Pelas restrições, podemos escrever
u=(x_1,2x_1,0),\qquad v=(x_2,2x_2,0),
para certos x_1,x_2\in\mathbb{R} (aqui eu usei as próprias equações y=2x e z=0 para expressar os vetores). Agora calcule a soma:
u+v=(x_1+x_2,\;2x_1+2x_2,\;0+0).
Agrupando,
u+v=(x_1+x_2,\;2(x_1+x_2),\;0).
Seja x_3=x_1+x_2. Então u+v=(x_3,2x_3,0), que satisfaz as mesmas restrições que definem T. Portanto u+v\in T. Assim, T é fechado por soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome u=(x_1,2x_1,0)\in T e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda u=(\lambda x_1,\;2\lambda x_1,\;0).
Se definirmos x'=\lambda x_1, temos \lambda u=(x',2x',0), que novamente satisfaz y=2x e z=0. Logo \lambda u\in T. Portanto T é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Como verificamos: \mathbf{0}\in T, T é fechado por soma e por multiplicação escalar. Essas três propriedades bastam para concluir que T é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Vou acrescentar uma observação útil para fixar a ideia: os vetores em T têm a forma
(x,2x,0)=x(1,2,0).
Isso mostra que T é a reta através da origem gerada pelo vetor (1,2,0). Em linguagem linear, podemos escrever
T=\operatorname{span}\{(1,2,0)\},
ou seja, T é o subespaço de dimensão 1 gerado por (1,2,0).

Resposta

Sim. T é subespaço de \mathbb{R}^3; T=\operatorname{span}\{(1,2,0)\}.

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