Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pergunta se
é um subespaço de
. As informações relevantes que temos são as duas restrições:
e
. A pergunta concreta é: o conjunto
satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço?
Passo 2
Antes de testar
, vamos lembrar (com calma) o que significa ser subespaço de
. Um subconjunto
é subespaço se e somente se três condições forem verdadeiras:
Essas condições significam, em palavras: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar. Se todas valem, então podemos somar vetores e multiplicá-los por escalares sem sair do conjunto — isso é exatamente a ideia de subespaço.
Passo 3
Verificar a presença do vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo
nas condições de
obtemos
e
. Logo
satisfaz as restrições, portanto
Passo 4
Verificar fechamento por soma. Tome quaisquer dois vetores de
. Pelas restrições, podemos escrever
para certos
(aqui eu usei as próprias equações
e
para expressar os vetores). Agora calcule a soma:
Agrupando,
Seja
. Então
, que satisfaz as mesmas restrições que definem
. Portanto
. Assim,
é fechado por soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome
e um escalar
. Então
Se definirmos
, temos
, que novamente satisfaz
e
. Logo
. Portanto
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Como verificamos:
,
é fechado por soma e por multiplicação escalar. Essas três propriedades bastam para concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Vou acrescentar uma observação útil para fixar a ideia: os vetores em
têm a forma
Isso mostra que
é a reta através da origem gerada pelo vetor
. Em linguagem linear, podemos escrever
ou seja,
é o subespaço de dimensão
gerado por
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
;
.