Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 t=0 e y+3 z=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o conjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2t=0 \text{ e } y+3z=0\}
é um subespaço de [\mathbb{R}^4).
Informações dadas (explicitadas):
\begin{cases} x-2t=0,\\[4pt] y+3z=0. \end{cases}
Ou seja, S\] é o conjunto de vetores de \(\mathbb{R}^4 que satisfazem essas duas equações lineares homogêneas.]

Passo 2

Definição útil (explicada passo a passo): um subconjunto W\subset\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Vou verificar essas três propriedades para S. Essa é a forma mais direta e elementar de provar que algo é subespaço — nada de conceitos avançados necessários.

Passo 3

Verificação 1 — vetor zero: o vetor zero em \mathbb{R}^4 é (0,0,0,0). Substituindo nas equações:
0-2\cdot 0=0 \quad\text{e}\quad 0+3\cdot 0=0,
portanto (0,0,0,0)\in S. Logo S não é vazio.

Passo 4

Verificação 2 — fechamento por adição: seja
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S.
Pelo fato de u\in S temos x_1-2t_1=0 e y_1+3z_1=0. Pelo fato de v\in S temos x_2-2t_2=0 e y_2+3z_2=0. Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Verificamos as equações:
(x_1+x_2)-2(t_1+t_2)=(x_1-2t_1)+(x_2-2t_2)=0+0=0,
(y_1+y_2)+3(z_1+z_2)=(y_1+3z_1)+(y_2+3z_2)=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz as duas equações, logo u+v\in S. Assim S é fechado sob adição.

Passo 5

Verificação 3 — fechamento por multiplicação escalar: seja u=(x,y,z,t)\in S com x-2t=0 e y+3z=0. Tome c\in\mathbb{R} e considere c\,u=(c x,\;c y,\;c z,\;c t). Verificamos:
c x - 2(c t)=c(x-2t)=c\cdot 0=0,
c y + 3(c z)=c(y+3z)=c\cdot 0=0.
Portanto c\,u também satisfaz as duas equações, logo c\,u\in S. Assim S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão lógica: como [S) contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Observação alternativa rápida (útil na prova): S é exatamente o conjunto solução do sistema linear homogêneo
\begin{cases} x-2t=0,\\[4pt] y+3z=0, \end{cases}
ou seja, a interseção dos núcleos (kernels) de duas formas lineares. Qualquer espaço de soluções de um sistema homogêneo é um subespaço vetorial — outra maneira curta de explicar por que (S] é subespaço.]

Passo 7

(Ajudinha prática: parametrização, base e dimensão — ótimo para a prova)
Resolvendo as equações para escrever um vetor geral em S, escolhemos parâmetros s e r para z e t:
z=s,\qquad t=r,\qquad x=2t=2r,\qquad y=-3z=-3s.
Portanto um vetor genérico de S é
(2r,\,-3s,\;s,\;r)=r\,(2,0,0,1)+s\,(0,-3,1,0).
Os vetores (2,0,0,1) e (0,-3,1,0) são linearmente independentes (verificação rápida: da igualdade a(2,0,0,1)+b(0,-3,1,0)=0 vem 2a=0 e -3b=0, logo a=b=0). Assim esses dois vetores formam uma base de S e
\dim(S)=2.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^4.

Exercícios relacionados