Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o conjunto
é um subespaço de [\mathbb{R}^4).
Informações dadas (explicitadas):
Ou seja,
que satisfazem essas duas equações lineares homogêneas.]
Passo 2
Definição útil (explicada passo a passo): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou verificar essas três propriedades para
. Essa é a forma mais direta e elementar de provar que algo é subespaço — nada de conceitos avançados necessários.
Passo 3
Verificação 1 — vetor zero: o vetor zero em
é
. Substituindo nas equações:
portanto
. Logo
não é vazio.
Passo 4
Verificação 2 — fechamento por adição: seja
Pelo fato de
temos
e
. Pelo fato de
temos
e
. Considere
. Verificamos as equações:
Portanto
satisfaz as duas equações, logo
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificação 3 — fechamento por multiplicação escalar: seja
com
e
. Tome
e considere
. Verificamos:
Portanto
também satisfaz as duas equações, logo
. Assim
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão lógica: como [S) contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço de
.
Observação alternativa rápida (útil na prova):
é exatamente o conjunto solução do sistema linear homogêneo
ou seja, a interseção dos núcleos (kernels) de duas formas lineares. Qualquer espaço de soluções de um sistema homogêneo é um subespaço vetorial — outra maneira curta de explicar por que (S] é subespaço.]
Passo 7
(Ajudinha prática: parametrização, base e dimensão — ótimo para a prova)
Resolvendo as equações para escrever um vetor geral em , escolhemos parâmetros
e
para
e
:
Resolvendo as equações para escrever um vetor geral em
Portanto um vetor genérico de
é
Os vetores
e
são linearmente independentes (verificação rápida: da igualdade
vem
e
, logo
). Assim esses dois vetores formam uma base de
e
Resposta
Sim.
é subespaço de
.