Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
U=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=0 e z+t=1 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+y=0\\ \text{e}\\ z+t=1\}
é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
  • Um elemento genérico de U é (x,y,z,t) sujeito às duas equações \;x+y=0\; e \;z+t=1\;.
  • A pergunta é apenas: “U é subespaço de \mathbb{R}^{4}?”

Passo 2

Lembrete didático: o que é preciso para que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} seja subespaço linear?
  • W deve conter o vetor nulo (o vetor zero) \mathbf{0}=(0,0,\dots,0).
  • W deve ser fechado sob soma: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  • W deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\mathbf{u}\in W.
Explicação por que o vetor zero é necessário (súper importante na prova): se \mathbf{u}\in W, então pelo fechamento por escalares tomamos \alpha=0 e obtemos 0\cdot\mathbf{u}=\mathbf{0}\in W. Portanto qualquer subespaço necessariamente contém \mathbf{0}. Assim, uma maneira rápida de refutar que um conjunto é subespaço é mostrar que \mathbf{0}\notin W.

Passo 3

Verificação do vetor zero em U.
O vetor zero em \mathbb{R}^{4} é \mathbf{0}=(0,0,0,0). Vamos checar as duas equações que definem U:
  • Para \;x+y=0\;: substituindo (0,0,0,0) obtemos 0+0=0, que satisfaz a primeira condição.
  • Para \;z+t=1\;: substituindo (0,0,0,0) obtemos 0+0=0, que NÃO satisfaz a segunda condição (pois 0\neq1).
Logo \mathbf{0}\notin U. Pelo raciocínio do passo anterior, isto já é suficiente para concluir que U não pode ser subespaço de \mathbb{R}^{4}.

Passo 4

Vou reforçar com um contraexemplo concreto mostrando que U não é fechado por multiplicação por escalar (ou seja, falha outra propriedade necessária).
Escolho o vetor \mathbf{v}=(1,-1,0,1). Verifico que \mathbf{v}\in U:
  • x+y=1+(-1)=0.
  • z+t=0+1=1.
    Portanto \mathbf{v} satisfaz as duas condições e \mathbf{v}\in U.
Agora multiplico por \alpha=2:
2\mathbf{v}=(2,-2,0,2).
Verifico se 2\mathbf{v} pertence a U:
  • x+y=2+(-2)=0 (ok),
  • z+t=0+2=2, mas para estar em U precisaríamos de z+t=1. Como 2\neq1, então 2\mathbf{v}\notin U.
Isso mostra explicitamente que U não é fechado sob multiplicação por escalar, reforçando que U não é subespaço.

Passo 5

Comentário final e intuição amiga: a razão intuitiva é simples — a condição z+t=1 fixa uma soma igual a um número não nulo, e subespaços exigem que a soma das coordenadas que dependem linearmente permita o vetor zero; qualquer subespaço linear deve passar pela origem, mas U é um “hiperplano deslocado” (uma reta/plano deslocado) que não passa pela origem porque exige z+t=1. Portanto não pode ser subespaço.

Resposta

Não, U não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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