Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
Informações dadas:
- Um elemento genérico de
é sujeito às duas equações e - A pergunta é apenas: “U é subespaço de
?”
Passo 2
Lembrete didático: o que é preciso para que um subconjunto
seja subespaço linear?
-
deve conter o vetor nulo (o vetor zero) . -
deve ser fechado sob soma: se e , então . -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicação por que o vetor zero é necessário (súper importante na prova): se
, então pelo fechamento por escalares tomamos
e obtemos
. Portanto qualquer subespaço necessariamente contém
. Assim, uma maneira rápida de refutar que um conjunto é subespaço é mostrar que
.
Passo 3
Verificação do vetor zero em
.
O vetor zero em
é
. Vamos checar as duas equações que definem
:
- Para
: substituindo obtemos , que satisfaz a primeira condição. - Para
: substituindo obtemos , que NÃO satisfaz a segunda condição (pois ).
Logo
. Pelo raciocínio do passo anterior, isto já é suficiente para concluir que
não pode ser subespaço de
.
Passo 4
Vou reforçar com um contraexemplo concreto mostrando que
não é fechado por multiplicação por escalar (ou seja, falha outra propriedade necessária).
Escolho o vetor
. Verifico que
:
-
. -
.
Portantosatisfaz as duas condições e .
Agora multiplico por
:
Verifico se
pertence a
:
-
(ok), -
, mas para estar em precisaríamos de . Como , então .
Isso mostra explicitamente que
não é fechado sob multiplicação por escalar, reforçando que
não é subespaço.
Passo 5
Comentário final e intuição amiga: a razão intuitiva é simples — a condição
fixa uma soma igual a um número não nulo, e subespaços exigem que a soma das coordenadas que dependem linearmente permita o vetor zero; qualquer subespaço linear deve passar pela origem, mas
é um “hiperplano deslocado” (uma reta/plano deslocado) que não passa pela origem porque exige
. Portanto não pode ser subespaço.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.